Primero busco los vectores generadores de S1 y S2

S1 = gen{(0,2,1)} ; S2 = gen{(1,1,0)}

Ahora, el subespacio que tenés que encontrar, S, va a ser de dimensión 2 porque éste sumado (suma directa) a S1 forman R^3, por lo tanto S va a ser generado por dos vectores: S = gen{v1, v2}

Como S2 está incluido en S uno de los vectores generadores va a ser el generador de S2, o sea v1 = (1,1,0).

Y como S1 y S no tienen elementos en común (debido a la suma directa) el vector que nos falta es cualquier vector LI al que ya teníamos (1,1,0) y al generador de S1 (0,2,1)

Yo voy a elegir.... el (0,0,1), y listo! S=gen{(0,1,1),(0,0,1)}

Bueno, primero busco las ecuaciones de los subespacios V, W y el vector generador de S:

v: 2x-2y-z=0
w: x-hy+z=0
s: gen{(h^2-4 , 3, 4)}

para obtener la interseccion entre V y W busco la solución del sistema:

2x-2y-z=0
x-hy+z=0

si sumo las dos ecuaciones obtengo: 3x -(2+h)y = 0 -------> x=(2+h)y/3

reemplazo en la segunda ecuacion y tengo: (2+h)y/3 -hy + z=0 ------> z=(2h-2)/3y

por lo tanto V intersección W = gen{((2+h)/3,1,(2h-2)/3)} que es lo mismo que gen{(2+h,3,2h-2)} (multipliqué por 3 para que me quede un 3 en la segunda componente igual que en el generador de S)

bueno, si la intersección tiene que ser igual a S entonces los vectores generadores van a ser iguales, entonces igualo las componentes y me queda este sistemita

2+h = h^2-4
3=3
2h-2=4

de donde despejo h=3

A ver si puedo (??)

Primero, el subespacio S1 está generado por cualquier vector que satisfaga las ecuaciones que aparecen ahí (x1=0 ^ x2=2x3).... Yo, por ejemplo, voy a trabajar con el (0,2,1) (satisface porque X1= 0 y 2= 2*1)

Después, vos sabés que el subespacio S2 tiene que estar incluído en el S3 que vamos a crear, por lo cual el generador del S2, puede tranquilamente ser generador del S3, por lo cuál sólo nos quedaría buscar el segundo vector...

Por qué necesitamos dos vectores para generar S3? Porque te da como pauta que S1+S3 debe ser suma directa, por lo cuál, S1+S3= R

Entonces, requerimos un vector que sea LI respecto al generador de S1 y al generador de S2, por qué? porque si no es Li con S1, entonces lo que me está generando es justamente S1, y si no es Li con S2, no vale la pena ponerlo dentro de los generadores de S3....
Gausseá, triangulá, hacé lo que se te ocurra.... La respuesta del libro es una forma general, fijate que el (1,1,0) satisface la ecuación, el otro vector te va a salir de aplicar gauss...

Espero que lo hayas entendido Perdón si fuí muy básica... es que cuando pusiste 'no entiendo' supuse que era mejor explicarlo todo de nuevo (??)...(y el vector es (1,1,0), no (0,1,1))

Saludos!