Gente...hay una ejercicio de Álgebra y Geometría que no sé como encararlo.

El ejercicio dice:
"Sean las rectas T1: (x-1)/2 = y = z+3 y T2: (x,y,z)=(1,2,-1)+t(1,0,-1)
Obtenga el plano B sabiendo que t1 está incluida en B y t2 es paralela a B"

para un plano necesitas un punto y vector.
El punto elegis uno cualqueira de t1, puesto que esta incluida en el plano
Para el vector, sabes que T1 esta incluida en el plano, es decir que su vector director es perpendicular a la normal al plano.
Por otro lado, si T2 es paralela al plano, sabes que tambien su vector director es perpendicular a la normal al plano.
Como obtenes la normal al plano ? sencillo: producto vectorial

Tenes el punto, la normal.. y listo, armas la ecuacion

Gracias gonnza.

Qué boludo que fui, no me di cuenta lo del vector normal, ya me había hecho alto bardo de cálculos.

Una duda más

Dada la recta L: (x+1)/2 = 1 -y = 3 + z Obtenga el punto donde L corta al plano coordenado XZ y calcule la distancia entre dicho punto y el plano x - 3y + z = 0.

No me interesa calcular la distancia. Mi problema es obtener el punto. Nunca sé cómo proceder cuando se me indica que el plano es XY o YZ u otros casos.

Si te dicen el plano XZ es el plano Y=0
si es el XY es el plano z=0
si te dicen el YZ es el x=0

osea, podes inferir (que palabra ) que cuando te dan un plano de los ejes, su ecuacion es la otra componente igualada a 0
Fijate de verlo graficamente, y vas a entender bien porque es asi la ecuacion.

tonces haces interseccion plano con recta y listo ^^

O sea, que la ecuación general en el caso de XZ sería:

AX + CZ + D = 0

El tema es que me pierdo ahí, cómo saber las componentes del vector normal para poder formar el plano =S.

Me parece que le estoy pifiando en algo groso en estos casos

Si, le estas pifiando. en el caso de XZ es Y=0 ESA ES LA ECUACION DEL PLANO

si queres verlo de otra manera:

0X + BY + 0Z + D=0

donde B=1 y D segun el valor que toma, son todos planos paralelos al XZ. Si D=0 es, justamente, el plano XZ
osea, plano R: y=0 Y ESA ES LA ECUACION

¿Entonces la ecuación es Y=0 y su vector normal sería (0, 1, 0)?

Por otra parte, ¿cómo se grafican los planos?. Estuve revisando en mis apuntes y en ningún momento la profesora explicó eso :'(

Hola

NathanDrake escribió:¿Entonces la ecuación es Y=0 y su vector normal sería (0, 1, 0)?

Si asi es

Cita:Por otra parte, ¿cómo se grafican los planos?. Estuve revisando en mis apuntes y en ningún momento la profesora explicó eso :'(

Una de las formas que podés graficar un plano es por la ordenada, coordenada y absisa al órigen, me explico por ejemplo

sea el plano 8x+2y-6z=8 si x=y=0 entonces z=8/6 ya tenes un punto

x=z=0 entonces y=4 , y=z=0 entonces x=1 ahi ya tenes los tres puntos por donde el plano corta a los ejes coordenados

saludos

Recuerdo que para graficar vectores en R3 nos habían enseñado un método que era para llevarlos hasta el origen. ¿En esto tengo que hacer lo mismo o simplemente marco los puntos, uno y ya está?.

Disculpen que haga preguntas tan boludas, pero este tipo de cosas no se vieron en clases y obviamente ne los libros tampoco se explican detalladamente :S

marcas los puntos y ya esta: al igualar 2 componentes a 0 obtenes los cortes con el eje que no igualas a 0 (lease TRAZAS). Entonces unis los 3 puntos. Si por esas casualidades, alguna de las componentes no figura (ej un plano x+y=0) quiere decir que a ese eje no lo corta, y para unir los 2 puntos debes trazar unas lineas pareleas a cada eje que aparece, y hacer como un "rectangulo"... pero es mas dificil eso de explicar por aca jajaja pediselo a tu profe

Otra consulta...
Ni puta idea de cómo resolverlo, ¡qué mal vengo che! xD

Halle las ecuaciones de los tres planos que incluyen a la recta r: (x,y,z) = (2,-2,3) + T(1,2,-1) con T real, y que son perpendiculares a cada uno de los planos coordenados.

Hola, si no me falla el razonamiento ( si es asi las críticas serán bienvenidas ) la única posibilidad de que una recta este incluida en tres planos al mismo tiempo es que este en la intersección de los tres.

Tomo un vector genérico \[\bar{u}=(a,b,c)\] para encontrar las ecuaciones de los planos que generan la recta impongo que \[\bar{u}=(a,b,c) \perp (1,2,-1)\] de donde haciendo las cuentas te queda
\[a+2b=c \longrightarrow{}\bar{u}=(a,b,a+2b)\] esta va a ser la expresión de las normales de los planos que intersecta la recta, como te piden que encontrés los que son paralelos a los planos coordenados, solo existirá un plano por plano coordenado (si razone mal corrigan porfa ) entonces :

\[\begin{Bmatrix}{\bar{u} \perp P_{xy}} \\ \bar{u} \perp P_{xz}\\\bar{u} \perp P_{yz}\end{matrix}\]

tomando las normales de los planos coordenados (0,0,1),(0,1,0),(1,0,0) respectivamente, imponiendo la condición que puse, entonces nos queda que

\[\bar{u} \perp P_{xy}=(a,b,a+2b)(0,0,1)=0 \longrightarrow{} a+2b=0 \longrightarrow{a=-2b}\] la normal de este plano será \[(-2b,b,0)=b(-2,1,0)\ b\in{R}\] el plano será \[-2x+y+d=0\] para hallar d reemplaza el punto de la recta en el plano hallado, te dejo a vos hallar los otros dos, si estan bien hechas las cuentas para verificar podés hacer el producto vectorial tomando dos normales cualesquiera de las que encontres, te tienen que dar el vector director de la recta planteada al principio.

saludos

Para eso no hay que hacer cuentas :P , sólo escribís los planos proyectantes de la recta
En el resumen de la clase de Recta que nos envió Leonor Carvajal dice esto "son tres planos que incluyen a la recta y son perpendiculares a los planos coordenados"

(Ecuaciones de los planos proyectantes de una recta)

En \[x_0 y_0 z_0\] van las coordeenadas del punto de la recta (2,-2,3) y en las \[a_x a_y a_z\] va el vector de la recta (1,2,-1). Después podes dejar las ecuaciones asi o pasar todo a un miembro para que te queden las ecuaciónes generales de los planos. Recordá que cuando a un plano le falta una variable es porque es paralelo a ese eje, por ejemplo, a la primera ecuacion le falta la z, y al ser paralela al eje z es perpendicular al plano xy, el segundo plano es perpendicular al xz y el tercero al yz.

Si en algun momento te dan los planos proyectantes de la recta y te piden la recta, acordate de que la x y z siempre son positivas y no llevan ningun número delante, si por ejemplo tienen un menos delante tenés que multiplicar por -1. Ej:

\[\frac{-x+3}{2}=\frac{y-8}{-5}=\frac{z+2}{3}\] (Ecuaciones simétricas de la recta)

Uno creeria que el la ecuacion de la recta es r:(x,y,z)= (-3,8,-2)+t(2,-5,3)
Pero como la x tiene un menos antes, hay que pasarlo al denominador:

\[\frac{x-3}{-2}=\frac{y-8}{-5}=\frac{z+2}{3}\]

Asi que la recta de mi ejemplo sería r:(x,y,z)= (3,8,-2)+t(-2,-5,3)

Si querés te envio por email los resumenes de vectores, planos y rectas, tienen todas las formulas y hasta dibujitos.

Joya, había planteado lo que dijiste vos Anirus y me dió. Una bobada, pero cuando le fui a preguntar a la profesora me dijo que plantee un haz de planos y me quedé o_O.

Si me podés enviar por MP o por mail ese apunte me re serviría para repasar bien la teoría que la tengo flojita...

Muchas gracias gente, de nuevo.