Hola compañeros estoy preparando el final de algebra para mayo la materia me cuesta mucho di mal 2 veces ahora estoy leyendome el libro de KOzac entero y haciendo la autoevaluacio haber si así la aprendo de una vez por todas me surgieron las siguientes dudas en 4 ejercicios nose como arrancar:

1)Encontrar una ecuacion del plano que:
a)Tiene unicamente interseccion con los ejes Y y Z en los puntos P1(0,2,0) y P2 (0,0,1)
b)Solo corta al eje X en el punto P1 (5,0,0)

2)Encontrar las ecuaciones de los planos paralelos al plano w:3x-2y-6z-14=0 y que distan 5 unidades del origen.

3)Encontrar una ecuacion del plano que pasa por los puntos P1 (1,3,0) y P2 (4,0,0) y forman un angulo de 30° con el plano k:x+y+z-1=0

4)obtener una ecuacion del plano paralelo al plano g:3x-2y+z+14=0 de modo tal que la suma de la abscisa,la ordenada y la cota al origen sea igual a 5.

Les agradezco si pueden tirarme una mano con alguno o todos los ejercicios ya que no les pued encontrar la vuelta reelei la parte de ecuaciones del plano y representasiones pero no me avivo,Muchas Gracias!!!

Ejercicio 4.

\[\pi_1: 3x-2y+z+14=0 \to \bar{n_1}=(3,-2,1)\]

Te pide hallar un plano \[\pi_2 \parallel \pi_1\].

Quiere decir que \[\bar{n_2}=\alpha(3,-2,1)\].

Entonces \[\pi_2=3\alpha x -2\alpha y + \alpha z = d^{(1)}\]

Y la interpretación que yo le di a la suma que aparece en el enunciado es:

\[3\alpha - 2\alpha + \alpha = 5 \to 2\alpha=5 \to \alpha=\frac{5}{2}^{(2)}\][/tex]

Reemplazo \[^{(2)}\] en \[^{(1)}\] y obtengo:

\[\pi_2=\frac{15}{2} x -5 y + \frac{5}{2} z = d\]

Si expreso a \[\pi_2\] en el punto \[(0,0,14)\] obtengo que \[d=35\].

\[\pi_2=\frac{15}{2} x -5 y + \frac{5}{2} z = 35\]


\[\pi_2=15x -10y + 5z = 70\]

Fijate si tuve algún error de cuentas o de concepto. Si tenés el resultado mejor

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Mmm me parece que el término independiente está mal porque lo obtuve utilizando un punto de \[\pi_1\]

Muchisimas Gracias Matyary me diste una mano muy grande un abrazo

(14-03-2012 10:10)Titolp escribió:  1)Encontrar una ecuacion del plano que:
a)Tiene unicamente interseccion con los ejes Y y Z en los puntos P1(0,2,0) y P2 (0,0,1)

De la condicion y=0,z=0 implicitamente te estan dando el vector \[u=(1,0,0)\] con los puntos formas el vector \[\overline{P_2P_1}=v=(0,2,-1)\], la normal del plano buscado estara dado por el producto vectorial entre u y v, salvo error obtengo la normal \[n=(0,1,2)\to y+2z+d=0\] pasa por uno de los puntos, cualquiera, por lo que el plano buscado es

\[\boxed{\pi: y+2z-2=0}\]

Cita:b)Solo corta al eje X en el punto P1 (5,0,0)

Implicitamente tenes definida la normal del plano pedido, que es la generada por el plano x=0, por lo que la normal es \[n=(1,0,0)\] el plano pedido es de la forma \[x+d=0\] que pasa por el punto pedido entonces el plano buscado es

\[\boxed{\pi_2: x-5=0}\]

Cita:2)Encontrar las ecuaciones de los planos paralelos al plano w:3x-2y-6z-14=0 y que distan 5 unidades del origen.

Si los planos pedidos son paralelos, entonces tienen la misma normal, son de la forma

\[\alpha: 3x-2y-6z-d=0\]

pero sabes que

\[d(\alpha,\overline 0)=5=\left|\frac{d}{\sqrt{49}}\right|=5\]

de donde |d|=35, finalmente los planos buscados son

\[\\\alpha_1:3x-2y-6z-35\\\alpha_2:3x-2y-6z+35\]

ahora me fijo los demas

Continuando

(14-03-2012 10:10)Titolp escribió:  3)Encontrar una ecuacion del plano que pasa por los puntos P1 (1,3,0) y P2 (4,0,0) y forman un angulo de 30° con el plano k:x+y+z-1=0

De los puntos dados formamos el vector \[u=(3,-3,0)\approx (1,-1,0)\] el cual es perpendicular al normal del plano buscado \[n=(a,b,c)\] entonces se cumple

\[u\perp v=0\rightarrow a=b\] de donde la normal del plano pedido es \[n=(a,a,c)\]

El ángulo formado por dos planos es igual al ángulo agudo determinado por los vectores normales de dichos planos, por definicion

\[\cos\theta=\frac{|(n_1.n_2)|}{|n_1||n_2|}=\dfrac{\sqrt3}{2}=\frac{|(1,1,1)(a,a,c)|}{\sqrt3.\sqrt{2a^2+c^2}}\]

operando convenientemente llegas a

\[(2a+c)^2=\frac{9}{4}(2a^2+c^2)\quad (1)\]

eligiendo cualquier valor para \[c\neq 0\] y reemplazando en (1) y operando obtenes valores de a, recorda que \[a\neq 0\], son solo cuentas ahora.

Cita:4)obtener una ecuacion del plano paralelo al plano g:3x-2y+z+14=0 de modo tal que la suma de la abscisa,la ordenada y la cota al origen sea igual a 5.

Nos piden un plano paralelo a \[w:3x-2y+z+14=0\] que cumpla la condicion que \[x+y+z=5\quad (*)\], como es paralelo las componentes de la normal del plano pedido son

proporcionales \[\alpha:3x-2y+z+d=0\] , dichas componentes de la normal son distintas de 0 entonces podemos usar la ecuación simétrica del plano, la cual nos define la interseccion con los ejes

coordenados, entonces tenemos que:

\[\alpha:\frac{x}{-\frac{d}{3}}+\frac{y}{\frac{d}{2}}+\frac{z}{-d}=1\]

Se tiene que cumplir la condición (*) entonces \[-\frac{d}{3}+\frac{d}{2}-d=5\rightarrow d=-6\]

es solo reemplazar ahora el valor hallado de "d"

saludos

PD: maty el plano que vos hallas no verifica que la suma de la abscia ordenada y cota al origen es igual a 5, fijate si haces \[x=y=0; z=x=0; y=z=0\] no se verifica que sea igual a 5

Ahhhh más fácil de lo que parecía. Entendí cualquier verdura entonces...

MUCHAS GRACIAS SAGA GRACIAS A TODOS UN ABRAZO GRANDE!!!

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me quedó una sola duda en el 3 porqué la normal es (a,a,c)???o sea porqué a es igual a b???gracias de nuevo

(20-03-2012 17:50)Titolp escribió:  me quedó una sola duda en el 3 porqué la normal es (a,a,c)???o sea porqué a es igual a b???gracias de nuevo

De la condicion de perpendiculardidad obtenemos

\[(1,-1,0)(a,b,c)=0\rightarrow a-b=0\Rightarrow a=b\]

entonces las componentes del vector normal son \[n=(a,a,c)\] o si

preferís \[n=(b,b,c)\]