hola gente

miré el final que postearon acá ciencias-basicas-f48/finales-recientes-t1886.html

ví que ejercicios como el 4 los toman muy comunmente, y no tengo ni idea de como resolverlos, creo que nunca hicieron uno en mi cursada

me pueden decir si esto está bien?


Responder verdadero o falso:
dada
\[A =\ \left(\begin{array}{ccc}1&0&0\\3&1&0\\-2&4&k\end{array}\right)\]
A es diagonalizable \[\forall k \in \Re\]



para buscar eigenvalues
det(A)=0
\[{(1 - \lambda)(7 - \lambda)(k - \lambda)=0 \Rightarrow \lambda_{1} = 1 ; \ \lambda_{2} = 7 ; \ \lambda_{3} = k}\]

\[\Rightarrow\] A es diagonalizable si

\[k \neq 1 \wedge k \neq 7\]
ó
\[k = 1 \ \wedge\] dim del autoespacio correspondiente a \[\ \lambda_{1}\] es 2
ó
\[k = 7 \ \wedge\] dim del autoespacio correspondiente a \[\ \lambda_{2}\] es 2


para \[{ k = 1}\]
\[{0 = 0}\]
\[{3x + 6y = 0}\]
\[{-2x + 4y + (1-1) = 0}\]

\[\Rightarrow x=-2y ; \ z=z \ \Rightarrow \ base: \{(-2,1,0);(0,0,1)\}\] y tiene dimensión 2!


para \[{ k = 7}\]
\[{-6x = 0}\]
\[{3x = 0}\]
\[{-2x + 4y + (7 - 7)z = 0}\]

\[\Rightarrow x=0 ; \ y=0 \ \Rightarrow \ base: \{(0,0,1)\}\] y tiene dimensión 1!

con lo cual concluiría que A es diagonalizable \[\Leftrightarrow k \neq 7\]



gracias.

de donde sacaste el 7?
cuando pones los landa para sacar los autovalores en la diagonal te queda 1-landa, 1-landa, k-landa
no se de donde sacas el 7

Cierto, ni idea de donde salio el 7.
yo lo consideraria asi, En el caso de una matriz triangular, los autovalores corresponden a los elemnetos de la diagonal principal, entonces, los autovalores que tengas vos van a ser 1 ( orden =2) y el tercer autovalor va a ser K de orden 1

Se te abren dos posibilidades, k=1 o K != 1
Para k = 1 vas a tener de autovalor solamente el valor 1 (de orden 3, ), entonces para que la matriz sea diagonalizable, el autoespacio asociado a 1 tiene que tener dimension 3.

Para k != 1, vas a tener que analizar la dimension del espacio asociado a 1, y en este caso vas a necesitar que tenga dimension 2.

Acordate que las condiciones para que una matriz sea diagonalizable es que tenga n autovalores diferentes o que las dimensiones de los espacios asociados a cada autovalor correspondan con sus multiplicidades algebraicas.

Ojala te haya servido!

hola, gracias por las respuestas, no las había visto.

el 7 sale de que el valor del medio de la matríz es un 7 y no un uno. se me chispoteó al copiar, en el parcial completo esta la matríz con el 7

igual esta mal resuelto

en k = 1 no te da dimension 2, te da dimension 1
fijate bien las ecuaciones que te keda x = 0 , y = 0 y z libre.. te keda 0,0,1 como en el 7 tambien
suerte

por qué decís que queda x=0?

si la primer fila de la matríz quedan todos ceros....