Buenas, necesito ayuda con un ejercicio de vectores, me pide de hallar un vector perpendicular a otros dos, en este caso u=(1,2,3) y v=(3,2,1) y que forme un tetraedro de 20 unidades cúbicas. Parece fácil pero realizo el producto vectorial entre los dos para encontrar w y no me verifica con el valor del volumen. Gracias y saludos.

Buenas
Estoy medio oxidado en álgebra así que tomalo con pinzas pero quizás esto sirva

Según Google el volumen de un tetraedro es 1/6 del producto mixto
Luego tenés 20 = 1/6 * (ProdEscalar((a, b, c), ProdVectorial((1, 2, 3), (3, 2, 1))))
20 = 1/6 * (ProdEscalar((a, b, c), (-4, 8, -4)))
20 = 1/6 * (-4a + 8b -4c)
20 = -2/3a + 4/3b - 2/3c

Pero tiene que ser perpendicular a (1, 2, 3);(3, 2, 1)
Producto vectorial de (1, 2, 3);(3, 2, 1) = (-4, 8, -4)
Entonces w tiene que ser combinacion lineal de este producto vectorial
(a, b, c) = t(-4, 8, -4)
(a, b, c) = (-4t, 8t, -4t)
a = -4t
b = 8t
c = -4t

Vuelvo al volumen del tetraedro
20 = -2/3a + 4/3b - 2/3c
20 = (-2/3)*(-4t) + (4/3)*(8t) - (2/3)*(-4t)
20 = 4/3t + 32/3t + 8/3t
20 = 1/3t * (4 + 32 + 8)
20/44 = 1/3t
60/44 = t

Entonces para el w
a = (-4)*(60/44) = -240/44 = -120/22 = -60/11
b = 8*(60/44) = 480/44 = 240/22 = 120/11
c = (-4)*(60/44) = -240/44 = -120/22 = -60/11

Finalmente w = (-60/11; 120/11; -60/11)

El edit fue porque me comí la parte de que tiene que ser ortogonal a los vectores dados. Igual verificalo con el resultado y cualquier cosa se ve

Hola

Ojo nicolasAM, tu vector no verifica la condición de ser perpendicular a los vectores dados.

Lo que no están considerando es que un vector que es perpendicular a otros dos vectores, en realidad es una familia de vectores que dependen de un parámetro, es decir uno es el que encontraron: \((-4,8,-4)\), pero en realidad hay infinitos, múltiplos escalares de ése.

Así que a priori no podemos decir que valga \(\vec{w}=(-4,8,-4)\) porque debemos analizar qué sucede con el dato del volumen.

Entonces buscamos un vector genérico \(\vec{w}=(x,y,z)\in\Bbb{R}^3\) que sea perpendicular a \(\vec{u}\) y \(\vec{v}\). Ya vimos que con el producto vectorial \(\vec{u}\times\vec{v}\) nos da UN vector, pero queremos uno genérico. Como el vector genérico debe ser perpendicular a ambos, planteamos: \[\left\lbrace\begin{aligned}&\vec{w}\perp\vec{u}\\&\vec{w}\perp\vec{v}\end{aligned}\right.\equiv
\left\lbrace\begin{aligned}&(x,y,z)\cdot(1,2,3)=0\\&(x,y,z)\cdot(3,2,1)=0\end{aligned}\right.\equiv
\left\lbrace\begin{aligned}&x+2y+3z=0\\&3x+2y+z=0\end{aligned}\right.\] Resolviendo el sistema nos queda \(\vec{w}=(\lambda,-2\lambda,\lambda)\) con \(\lambda\in\Bbb{R}\setminus\{0\}\) (obtienen el vector que resulta del producto vectorial con \(\lambda=-4\)).

Finalmente buscamos el parámetro \(\lambda\) mediante la fórmula del volumen que es como puso correctamente nicolasAM: \[\mathrm{V}=\frac{|\vec{w}\cdot(\vec{u}\times\vec{v})|}{6}=\frac{|(\lambda,-2\lambda,\lambda)\cdot(-4,8,-4)|}{6}=20\iff\lambda=\pm5.\] Como nos piden un vector elegimos cualquiera de los valores, por ejemplo \(\lambda=5\). Por lo tanto el vector pedido es \(\vec{w}=(5,-10,5)\).

Saludos.

AGREGADO:

(07-08-2020 03:36)nicolasAM escribió:  (...)
20 = (-2/3)*(-4t) + (4/3)*(8t) - (2/3)*(-4t)
20 = 4/3t + 32/3t + 8/3t
(...)

Una pequeña errata: el primer sumando debe ser \(8/3t\) no \(4/3t\).

También revisá que la fórmula del volumen incluye un valor absoluto en el numerador porque si nos da negativo quedaría negativo arriba y positivo abajo, lo que resulta en un volumen negativo, imposible.

Con todo esto se obtiene \(t=\pm\frac{5}{4}\) que reemplazado en \(\vec{w}=(-4t,8t,-4t)\) da el resultado esperado.