Buenas gente, tengo un problema con este ejercicio:

Dada la ecuación x²+2y²=z²-2x+4y+6z+3. Identificar la superficie y encontrar las coordenadas del centro y/o vértices.
Resuelvo y llego a que es un Hiperboloide de una hoja, pero cuando lo verifico con Geogebra me da que es de dos hojas.
No sé como subir la imagen, pero les comparto la resolución:

x²+2y²=z²-2x+4y+6z+3

x²+2y²+2x-4y-6z-z²=3

(x+2)²+2(y-1)²-(z+3)²=3+1+1+9

(x+2)²+2(y-1)²-(z+3)²=14

[(x+2)²]/14 + [(y-1)²]/7 - [(z+3)²]/14 =1

Me da eso, pero cuando lo verifico con Geogebra me dan diferentes los signos.
Gracias.

Hola

(05-10-2020 21:33)Ogost95 escribió:  Dada la ecuación x²+2y²=z²-2x+4y+6z+3. Identificar la superficie y encontrar las coordenadas del centro y/o vértices.
x²+2y²=z²-2x+4y+6z+3

Tenés un error operativo en este paso:

(05-10-2020 21:33)Ogost95 escribió:  x²+2y²+2x-4y-6z-z²=3

(x+2)²+2(y-1)²-(z+3)²=3+1+1+9

Debés recordar cómo se completan cuadrados. Para la \(x\): \(x^2+2x=(x+1)^2-1\). Para la \(y\): \(2y^2-4y=2(y^2-2y)=2[(y-1)^2-1]=2(y-1)^2-2\).

¿Podés pensarlo para lo que dependa de \(z\)? Si no te sale nos volvés a consultar.

Saludos.

(05-10-2020 22:05)manoooooh escribió:  Debés recordar cómo se completan cuadrados. Para la \(x\): \(x^2+2x=(x+1)^2-1\). Para la \(y\): \(2y^2-4y=2(y^2-2y)=2[(y-1)^2-1]=2(y-1)^2-2\).

¿Podés pensarlo para lo que dependa de \(z\)? Si no te sale nos volvés a consultar.

Saludos.

Para la z quedaría: (z²+6z): -(z²+6z)= -(z+3)²-9

El tema del signo me confunde bastante.

Hola

(05-10-2020 23:04)Ogost95 escribió:  Para la z quedaría: (z²+6z): -(z²+6z)= -(z+3)²-9

El tema del signo me confunde bastante.

Debería ser \(-(z+3)^2+9\). Siempre es bueno revisar si las expresiones nuevas que vamos encontrando son las mismas que antes.

Nosotros empezamos de \(-z^2-6z\). Vos llegaste a \(-(z+3)^2-9\), que si se expande, resulta \(-(z^2+6z+9)-9\), es decir \(-z^2-6z-9-9=-z^2-6z-18\), que es distinto a lo primero. Por eso hay que trabajar por partes: primero sacamos el menos adelante como hiciste: \(-(z^2+6z)\). Ahora nos concentramos únicamente en lo de dentro, porque lo de afuera no nos interesa (por ahora).

Entonces, completando cuadrados, lo de dentro queda \((z^2+6z+9)-9=(z+3)^2-9\). Agregando el signo que faltaba, \(-[(z+3)^2-9]=-(z+3)^2+9\). Si desarrollás esta expresión verás que es igual a \(-z^2-6z\).

Saludos.