Tengo dos dudas.

1)
Sea la matriz A =

3 0 2
k 1 1
1 2 0

Halle todos los k e R tales que landa (L) = 0 sea un autovalor de la TL AX, ¿Para el valor hallado de k la matriz es diagonalizable? Justifique su respuesta.

det (A - L*I)

Saqué todo y llego a:

-L^3 + 4L^2 + L + (-8+4k)

Como se que L = 0 es un auto valor lo reemplazo en la ecuación característica y queda:

k = 2.

Entonces que me queda así:

302
211
120
Finalmente la ecuación característica me qeuda:

-L^3 + 4L^2 + L

Pero saco raíces y me da:
L1 = 4.4494897....
L2 = -0.4494897...
L3 = 0

Es diagonalizable porque los autovalores dan todos distintos. Pero las raíces no me dan enteras. Qué raro!!! ¿Está bien pensada mi forma de resolución?

2)
Sea la ecuación 2x^2+3xy+5y^2 = k. Identifique la cónica y halle k tal que (1,-1) pertenezca a la curva.

Mi duda es k. La tengo que hallar para la ecuación antes de hacerle la rototraslación o después?

Gracias.
Leito.

El ejercicio 1 está bien hecho, quedate tranquilo con esos valores, los autovalores no tienen porque ser enteros!

En el ejercicio 2 no hace falta realizar la rotrotraslación para encontrar k, si sabes que el punto (1,-1) pertenece a la curva podes reemplazar "x=1" e "y=-1", y de ahí sale inmediatamente el valor de k. Si querés buscar a k después de la rotrotraslación tendrías que buscar cuáles son las coordenadas del punto (1, -1) en el nuevo sistema de ejes (lo que complica las cosas)

Pero si no me equivoco vas a tener que hacer la rototraslación igual para poder identificar la cónica.

DrTornillo escribió:El ejercicio 1 está bien hecho, quedate tranquilo con esos valores, los autovalores no tienen porque ser enteros!

En el ejercicio 2 no hace falta realizar la rotrotraslación para encontrar k, si sabes que el punto (1,-1) pertenece a la curva podes reemplazar "x=1" e "y=-1", y de ahí sale inmediatamente el valor de k. Si querés buscar a k después de la rotrotraslación tendrías que buscar cuáles son las coordenadas del punto (1, -1) en el nuevo sistema de ejes (lo que complica las cosas)

Pero si no me equivoco vas a tener que hacer la rototraslación igual para poder identificar la cónica.

Claro. Eso hice. Reemplacé directamente en la primera pero me queda la duda si es en la que te dan de una o después de la rototraslación. Igualmente hay que hacer la rototraslación para reconocer la cónica (es una elipse).

Entonces, ¿se podría decir que curva es antes de hacer la rototraslación?

Gracias, Tornillo. Estás en todas =)

Mirá, si el ejercicio no dice nada explícitamente entonces el punto (1, -1) está en coordenadas "comunes", es decir, utilizando ejes x e y en dirección de los versores i y j respectivamente, por lo tanto no se tendría que hacer la rototraslación para averiguar k.

leandrong escribió:Entonces, ¿se podría decir que curva es antes de hacer la rototraslación?

No, hasta donde yo se (o me acuerdo mejor dicho..) es necesario hacer la rototraslación para identificar la curva.

DrTornillo escribió:

leandrong escribió:Entonces, ¿se podría decir que curva es antes de hacer la rototraslación?

No, hasta donde yo se (o me acuerdo mejor dicho..) es necesario hacer la rototraslación para identificar la curva

Claro para identificar la cónica sí. Curva y cónica son lo mismo?
Entonces k lo tengo que obtener después? :S:S

No, porque el punto (1, -1) está en coordenadas comunes y no las rototrasladadas (fijate mi anterior post que edite)

DrTornillo escribió:No, porque el punto (1, -1) está en coordenadas comunes y no las rototrasladadas (fijate mi anterior post que edite)

Claro. De última pregunto eso. Si es en la que me dan o en la rototrasladada.

Gracias =)