Buenas gente, escribo para ver si me pueden ayudar con un ejercicio de álgebra que me tiene loco:

Obtener la ecuación del plano que contiene a la recta de intersección de los planos a): 3x-4y+2z-6=0 y b): 2x+4y-2z+7=0 y al punto Q(1;2;-3).
No sé como empezar y busco en Internet y no encuentro nada parecido.
Gracias.

(27-07-2020 22:12)Ogost95 escribió:  Buenas gente, escribo para ver si me pueden ayudar con un ejercicio de álgebra que me tiene loco:

Obtener la ecuación del plano que contiene a la recta de intersección de los planos a): 3x-4y+2z-6=0 y b): 2x+4y-2z+7=0 y al punto Q(1;2;-3).
No sé como empezar y busco en Internet y no encuentro nada parecido.
Gracias.

Si querés te lo resuelvo pero prefiero explicarte los pasos y que vos lo hagas.
1º Para formar el plano necesitas 2 direcciones. Una dirección va a ser el DIRECTOR de la RECTA como consecuencia de la INTERSECCIÓN DE LOS DOS PLANOS DATOS.
2º La intersección de los dos planos datos genera una ecuación QUE PARAMETRIZA a la ecuación de la recta en una de sus componentes, vos elegís si x, y o z. Siendo el vector director los coeficientes con los que queda multiplicado dicho parámetro. Así obtuviste la primer direccion d1. OTRA FORMA DE CALCULARLO, es haciendo el producto vectorial de las NORMALES DE CADA PLANO. d1=N1XN2=(3,-4,2)X(2,4,-2)
3º Debemos buscar la otra dirección, si el punto no está alineado a la recta, podemos buscar cualquier punto de la recta y obtenemos la dirección paralela al plano como PRecta-Q=d2
4º Siendo el plano perpendicular a d1 y a d2, sacamos la normal como elproducto vectorial entre ambos d1Xd2=NormalPlano
5º Plano: 0=NormalPlano .((x,y,z)-Q)(Producto escalar)

No se si se entienda bien lo que te respondió ahí. Por las dudas sumo la mía... Jaja.
En cuanto a lo de la recta que es intersección de los dos planos, tal cual como te dijo, producto vectorial de las normales de los planos te da el vector director de la recta, y después sólo necesitás un punto por el que pase la recta para terminar de definirla (este sería cualquier punto que satisfaga las ecuaciones de los 2 planos), como tenés un sistema de 2 ecuaciones con 3 incógnitas, una de ellas es libre por lo que puede tomar cualquier valor, así que podés hacer x=0, y=0 ó z=0 (sólo una) y despejar las otras 2 variables para hallar un punto de la recta. Después, vas a tener entonces la ecuación de la recta y un punto. Para obtener la ecuación de un plano que los contiene, podemos partir de 2 vectores coplanares, es decir, que la normal del plano es perpendicular a ambos vectores. Entonces, armamos un vector entre el punto que tenemos de la recta y el otro punto Q que nos dan como dato. (P-Q ó Q-P, siendo P el punto que hallamos de la recta) Con lo cual, tendríamos el vector director de la recta y este nuevo vector que armamos que serían coplanares sii la normal del plano es perpendicular a ambos y el plano los contiene. Entonces, para hallar la normal del plano, hacemos producto vectorial del vector director de la recta y el vector que acabamos de armar, puesto que un producto vectorial entre ambos, nos dará como resultado, un vector que es perpendicular a ambos. Por ejemplo, si V es el vector director de la recta, W es el vector P-Q y N es la normal del plano. VxW = N. Después simplemente escribimos la ecuación del plano como aX+bY+cZ+D = 0 (siendo a, b, y c las componentes de la normal hallada) y reemplazamos X, Y, Z por cualquier punto de la recta o del nuevo vector que hallamos, para hacerlo fácil, ya que tenemos 2 puntos y no hace falta buscar otro, podemos usar tanto P (punto de la recta) como Q (punto que nos dan como dato), de ahí se despeja D y entonces la ecuación queda aX+bY+cZ + D = 0 con los reemplazos correspondientes. Es decir, si N nos dio, por ejemplo N=(1,2,5), entonces la ecuación del plano será X+2Y+5Z+D = 0, y en D reemplazamos el valor que nos dio de reemplazar uno de los puntos en esa ecuación. X, Y, Z obviamente quedan como variables.

Espero que se haya entendido mejor. Si no, cualquier cosa, https://aga.frba.utn.edu.ar/ acá tenés la mayoría de la teoría de AGA explicada, a mi me resulto súper útil, muy bien explicado, se entiende excelente, y sólo falta superficies y quizás alguna transformación lineal específica como rotación o proyección (no recuerdo bien de eso pero creo que faltaba un poquitiiito de eso tmb), pero el resto está todo ahí y muy bien explicado . Te recomiendo muchísimo usar esa página y tratar de entender lo más que puedas el por qué de cada cosa, (NO MECANIZAR), es la mejor manera de que te vaya excelente y promociones sin problema

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Ahí acabo de subir mis parciales tmb que la cursé en el 1er cuat, y una hoja de fórmulas para el 1er parcial (bastante incompleta, pero suma algo supongo)

https://www.utnianos.com.ar/foro/tema-ap...-cuat-2020