Haciendo Flax y resueltos siempre tengo el mismo error y no se como darme cuenta.
Por ejemplo,

1)
Superficie \[x^{2} +y^{2} +z^{2} = 5\]

A mi me da:

n= \[\left ( \frac{2x}{\sqrt{4x^{2}+4y^{2}+4z^{2}}}, \frac{2y}{\sqrt{4x^{2}+4y^{2}+4z^{2}}}, \frac{2z}{\sqrt{4x^{2}+4y^{2}+4z^{2}}} \right ), \]

y al flaco le queda un simple y hermoso:

n= \[\left ( \frac{2x}{2z}, \frac{2y}{2z}, 1 \right ), \]

2) Flax 175

Superficie \[y^{2} + z^{2} = 4 \] con \[x+y=2\]

y le queda

n= \[\frac{(0,y,z))}{\sqrt{4y^{2}+4z^{2}}}\] = \[\frac{(0,y,z))}{2}\]

3) Flax 176

te da una curva interseccion (lo de abajo seria un solo parentesis)
\[C = \left \{ x+y+z=2 \right.\]
\[C = \left \{ x^{2}+y^{2}=y \right.\]

para la normal utiliza solamente la primer ecuacion, por que si es una interseccion? No habria que igualar, despejar y ahi sacar la normal?

Son derivadas parciales GaraPR,

Fijate en el punto 1, por ejemplo...

Si llamás \[F(x,y,z)\] a \[x^2+y^2+z^2=5\]...

\[dx=\frac{F'_x}{F'_z}=\frac{2x}{2z} \wedge dx=\frac{F'_y}{F'_z}=\frac{2y}{2z}\]

Y como \[z=F(x,y,z) \to dz=1\]

Si,
pero siempre que tenes algo como: \[x^{2} + y^{2} = k\]

su normal es \[\frac{\left ( 2x,2y,0) \right )}{\sqrt{4x^{2}+4y^{2}}}\]

y en este caso no, no entiendo cual es la diferencia mas alla de que uno tenga Z o no.

En los otros dos casos tenes idea?

2) Considera la superficie como \[G(x,y,z)=y^2+z^2-4\]

en forma implicita y aplica la definición \[n=\frac{\nabla G}{||\nabla G||}\] y hace algunos pasos algebraicos mas, como por ejemplo sacar el 4 como factor comun, y despues reemplaza lo que queda dentro de la raiz por 4, que es el valor que le indica la superficie

3) lo hace por observacion en el dibujo, tenes razon lo que vos decis pero al ser un cilindo sin centro el el origen la segunda superficie, si lo queres hacer analititicamente te va a quedar una conica rototrasladada, ya que el plano con el que se corta tiene una inclinacion y tendrias que aplicar lo visto en algebra para este tipo de conicas, para evitarse esas cuentas, dibuja y se fija que la interseccion genera una "tapa" de forma circular o casi circular, y esa tapa es una parte de tu plano

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(20-05-2012 00:50)GaraPR escribió:  \[\frac{\left ( 2x,2y,0) \right )}{\sqrt{4x^{2}+4y^{2}}}\]

Es un equivalente fijate que

\[\frac{\left ( 2x,2y,0\right )}{\sqrt{4x^{2}+4y^{2}}}=\frac{\left ( 2x,2y,0\right )}{2\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=\frac{\left ( x,y,0\right )}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=\frac{\left ( x,y,0) \right )}{\sqrt k}\]

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(19-05-2012 20:42)GaraPR escribió:  Haciendo Flax y resueltos siempre tengo el mismo error y no se como darme cuenta.
Por ejemplo,

1)
Superficie \[x^{2} +y^{2} +z^{2} = 5\]

A mi me da:

n= \[\left ( \frac{2x}{\sqrt{4x^{2}+4y^{2}+4z^{2}}}, \frac{2y}{\sqrt{4x^{2}+4y^{2}+4z^{2}}}, \frac{2z}{\sqrt{4x^{2}+4y^{2}+4z^{2}}} \right ), \]

Esta perfecto, una propiedad nos indica que "cualquier punto de la esfera dividido a su radio nos da su versor normal" sin hacer cuentas el versor normal en tu ej es

\[n=\frac{(x,y,z)}{\sqrt{5}}\]

fijate que si sacamos factor comun 4 en todas las raices y operamos algebraicamente al final tenemos el mismo resultado

Cita:y al flaco le queda un simple y hermoso:

n= \[\left ( \frac{2x}{2z}, \frac{2y}{2z}, 1 \right ), \]

mmmm.. dejame pensarlo un poco, la verdad no se lo que hizo flax aca

(20-05-2012 00:55)Saga escribió:  2) Considera la superficie como \[G(x,y,z)=y^2+z^2-4\]

en forma implicita y aplica la definición \[n=\frac{\nabla G}{||\nabla G||}\] y hace algunos pasos algebraicos mas, como por ejemplo sacar el 4 como factor comun, y despues reemplaza lo que queda dentro de la raiz por 4, que es el valor que le indica la superficie

Seria asi no?

\[n=\left ( \frac{(0,2y,2z)}{\sqrt{4y^{2}+4z^{2}}}) \right ) = \left ( \frac{(0,2y,2z)}{\sqrt{4 (y^{2}+z^{2})}}) \right ) = \left ( \frac{(0,2y,2z)}{\sqrt{4 }\sqrt{(y^{2}+z^{2}})}) \right ) = \left ( \frac{(0,y,z)}{(y^{2}+z^{2}}}) \right = \left ( \frac{(0,y,z)}{\sqrt{(4)}) \right ) \]

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(20-05-2012 00:55)Saga escribió:  2) Considera la superficie como \[G(x,y,z)=y^2+z^2-4\]

en forma implicita y aplica la definición \[n=\frac{\nabla G}{||\nabla G||}\] y hace algunos pasos algebraicos mas, como por ejemplo sacar el 4 como factor comun, y despues reemplaza lo que queda dentro de la raiz por 4, que es el valor que le indica la superficie

Seria asi no?

\[n=\left ( \frac{(0,2y,2z)}{\sqrt{4y^{2}+4z^{2}}}) \right ) = \left ( \frac{(0,2y,2z)}{\sqrt{4 (y^{2}+z^{2})}}) \right ) = \left ( \frac{(0,2y,2z)}{\sqrt{4 }\sqrt{(y^{2}+z^{2}})}) \right ) \]

Y ahi cancelas los 2 de arriba con la raiz de abajo, y reemplazas \[y^{2} + z^{2} = 4\] adentro de la raiz, y te queda todo sobre 2.

Exacto

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(19-05-2012 20:42)GaraPR escribió:  y al flaco le queda un simple y hermoso:

n= \[\left ( \frac{2x}{2z}, \frac{2y}{2z}, 1 \right ), \]

Ya lo entendí tiene algo que ver con lo que dijo maty, pero en realidad lo que flax hizo fue considerar

\[F(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-5\]

utiliza el teorema de Cauchy Dini, y define \[z\approx f(x,y)\]

\[f_x=-\frac{F_x}{F_z}=-\frac{2x}{2z}\quad \wedge \quad f_=-\frac{F_y}{F_z}=-\frac{2y}{2z}\]

luego

\[z\approx f(x,y)-\frac{2x}{2z}(x-a)-\frac{2y}{2z}(y-b)\to\boxed{\boxed {\frac{2x}{2z}(x-a)+\frac{2y}{2z}(y-b)+z\approx f(x,y) }}\]

y de ahi toma el normal de ese plano que es

\[n=\left ( \frac{2x}{2z},\frac{2y}{2z},1 \right )\]

Es decir que para este ejercicio aproxima al versor de la superficie con esa normal