Muchachos,
Estoy trantando de hacer este ejercicio, pero no logro avanzar:

Siendo \[f(x,y)= \frac{x^3-xy^2}{x^2+y^2}\] si \[(x,y) \neq (0,0)\] y \[f(0,0) = 0\] , demuestre que es continua y derivable en toda direccion en (0,0) pero no es diferenciable.

Para empezar, para ver el tema de la continuidad me surgen dudas. Porque todos los métodos que aplicamos generalmente son para demostrar la no continuidad de las funciones. En este caso, ¿como se puede demostrar la continuidad? :O

Despues, con el tema de las derivadas direccionales, lo que planteo es lo siguiente:

\[\lim_{(h)\to 0}\frac{f[(0,0)+h(u_1,u_2)] - f(0,0)}{h}\]

Resolviendo, me queda:
\[\lim_{(h)\to 0}\frac{h^3 . u_1 ^3 - h^3 u_1 . u_2^2}{u_1 ^2 + u_2 ^2}\]

Ahora, ya que se demuestra que no hay condiciones mas que \[u_1 ^2 + u_2 ^2\neq 0\]

Y ahora, ¿Como puedo demostrar que aun asi no es diferenciable?
Ustedes comentenme y lo trato de hacer....

Mira, la parte de continuidad sino recuerdo mal, sale sacando x factor común en el numerador...y después te quedaba un infinetismo por acotado, entonces el limite es igual a cero. Me acuerdo porque esa parte me habia quemado un poco la cabeza y el ayudante me lo demostro un poco rapido.

Después, para la parte de derivabilidad tenes que:

\[f(x_{0}, u) = \lim_{h\rightarrow 0}\frac{f((0,0) + h(a,b)) - f(0,0)}{h}\]

Como f(0,0) = 0 nos queda:

\[f(x_{0}, u) = \lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(ha,hb)}{h}\]

Recordamos que tenemos dos partes de la función.

Parte A

\[(x,y) \neq (0,0)\]

\[f(x,y) = \frac{x^3-xy^2}{x^2+y^2}\]


Parte B

\[(x,y) = (0,0)\]

\[f(x,y) = (0,0)\]


Ahora, vemos que en nuestro limite nos queda un f(ha, hb). Este termino solo satisface la Parte A, ya que en la parte B tenemos que (x,y) = (0,0). Esto no puede pasar en nuestro análisis, ya que a y b no pueden valer cero simultaneamente; entonces, h deberia valer cero ! cosa que tampoco puede pasar porque h esta tendiendo a cero, no llega al valor. Entonces solo analizamos el limite en la Rama A.


Parte A

Teniamos que:

\[f(x_{0}, u) = \lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(ha,hb)}{h}\]

Reemplazando:

\[f(x_{0}, u) = \lim_{h\rightarrow 0} \frac{h^3a^3 - h^3ab^2}{h^2(a^2+b^2)}*\frac{1}{h}\]

Donde \[a^2 + b^2 = 1\]

Ya que son las componentes del versor.

\[f(x_{0}, u) = \lim_{h\rightarrow 0} \frac{h^3a^3 - h^3ab^2}{h^2}*\frac{1}{h}\]

\[f(x_{0}, u) = \lim_{h\rightarrow 0} \frac{h^3a^3 - h^3ab^2}{h^3} \]

\[f(x_{0}, u) = \lim_{h\rightarrow 0} \frac{h^3(a^3 - ab^2)}{h^3} = a^3 - ab^2\]


Entonces la expresion de la derivada para toda direccion y sentido será:

\[f(x_{0}, u) = a^3 - ab^2\]

Ahora, por propiedades de los campos diferenciables, sabemos que si una función es diferenciable se cumple que:

\[\forall u: f`(x_{0},u) = \bigtriangledown f(x_{0})\cdot u \]

Quiere decir que, si encontramos algún versor u el cual haga que no se cumpla la siguiente igualdad...el campo no va a ser diferenciable.

La expresión de la derivada la tenemos, el valor del gradiente lo sacamos usando la expresion de la derivada. Solo nos falta elegir algun u. Esto es medio arbitrario, yo por lo general uso:

\[u = (\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}})\]

o también

\[u = (\frac{4}{5}, \frac{3}{5})\]