Agradeceria se me pueden ayudar con este ejercicio ya que no lo entiendo.

Dado el sistema A.X=B

A= \[\begin{pmatrix}-2 &-4 &6 \\ -3&-3 &8 \\ 0&3 &-1 \end{pmatrix}\]

B=\[\begin{pmatrix}4\\ 4\\ k\end{pmatrix}\]

a)¿Para que valores de k el sistema tiene solucion unica?
b)¿Para que valores de k el sistema tiene infinitas soluciones?
c)¿Para que valores de k no existen soluciones?
d)Halle la solucion del sistema homogeneo A.X=N
e)Halle la solucion que corresponde al item b)
f)Interprete geometricamente a) b) c) d)

Gracias espero me puedan ayudar

Hola que tal.

a) lo podés escribir así:
-2x-4y+6z=4
-3x-3y+8z=4
3y-z=k

si pones esas ecuaciones en una matriz usando el método de gauss (el que enseñaban en el modulo b) simplificás hasta tener 0 escalonados y te fijás para que valor de k el sistemas es compatible determinado.

-2 -4 6 | 4
-3 -3 8 | 4
0 3 -1 | k

1 2 -3 |-2
-3 -3 8 | 4
0 3 -1 | k

1 2 -3 |-2
0 3 -1 | 4
0 3 -1 | k

1 2 -3 |-2
0 3 -1 | 4
0 0 0 | k-4

si no hice mal las cuentas para ningún valor de k el sistema es C.D, o sea, para ningún valor de k tiene solución única.

b) para que tenga infinitas soluciones tiene que ser S.C.I, o sea una fila de la matriz tiene que tener todos 0 => k-4=0 => k=4

c) mismo planteo que los anteriores, ahora tiene que ser S.I, k tiene que ser distinto de 4.

d) sistema homogéneo es el que tiene B= vector nulo = (0,0,0)\[^{t}\], entonces la matriz quedaría:

-2 -4 6 | 0
-3 -3 8 | 0
0 3 -1 | 0

de ahí resolvés por gauss como cualquier ejercicio de ecuaciones lineales. Tené en cuenta que ya sabemos que es S.C.I, te van a quedar los resultados en función de una variable.

e) igual que el anterior pero en vez del vector nulo usas B, reemplazando k por 4 y resolvés.

-2 -4 6 | 4
-3 -3 8 | 4
0 3 -1 | 4

El último te lo debo
Suerte!

A*A^-1*X=B*A^-1
X=B*A^-1

Si A^-1 existe se puede hacer

Lo demás lo tenes que hacer con Gauss Jordan Y Teorema de Roché Frobenius

Y lo de la Interpretación Geometrica, es SCD (Punto), SCI (Linea producto de la intersección de 2 planos) y SI (pueden ser 3 planos paralelos)

Muchas gracias m68540534. Me sirvio de mucho mejor imposible. Tambien gracias CarliiN me sirvio lo de la interpretacion geometrica.