Disculpen que siga molestando, jaja.
Este creo que lo hice bien, pero no se porque no me da.
Analizar si \[\bar{f}\] admite función potencial en su dominio natural. \[\bar{f}(x,y)=(\frac{-6y}{4x^{2}+9y^{2}},\frac{6x}{4x^{2}+9y^{2}})\].
Bueno, calculo P'(y) y Q'(x) y me dan iguales, por lo tanto cumple la condición necesaria. Como no es simplemente conexo (el dominio es R2 menos el (0,0)), rodeo al (0,0) con una curva cerrada y le calculo la circulación. Yo elegí como curva una circunferencia de radio uno centrada en el origen. Parametrizándola queda x=cos t, y=sen t, con t entre 0 y 2\[\Pi \] Si derivo eso me queda (-sen t, cos t). Entonces ahora calculo la circulación. Haciendo \[\oint_{C}^{}\]\[\bar{f}d\bar{s}=\int_{0}^{2\Pi }\bar{f}(C(t)).(C'({t}))dt\]. Finalmente me queda \[6.\left | \frac{1}{2.3}tg^{-1}(\frac{3tg (t)}{2})\right | entre 0 y 2\Pi \] (obviamente la saqué de tabla) Bueno, resuelvo eso y me da 0, por lo tanto es campo conservativo y admite función potencial. La cosa es que la respuesta dice que no admite función potencial, por lo que si pueden aclararme en qué me equivoqué me ayudaría mucho. Saludos.

Tengo una consulta, no entiendo por que calculas la circulacion si hay una propiedad que dice que si la curva es cerrada la circulacion es cero.

Pero eso es para los campos conservativos, o de gradientes, o que admiten función potencial (son sinónimos), que es justamente lo que me pregunta el problema. Si la respuesta me da 0 a lo largo de la curva cerrada, entonces es un campo conservativo y admite función potencial. Si no da 0, no es un campo conservativo y no admite función potencial.

Es complicarse en las cuentas si tomas un circulo mejor toma la curva

\[4x^2+9y^2=1\]

parametrizala convenientemente y comprobas la circulacion es distinta de 0 por lo tanto el campo no admite funcion potencial

Gracias Saga, lo hice con esa elipse y me dio. Igual sigo sin entender porqué de la otra manera me da 0. No tendría que dar 0. Pero bueno, con ésta curva claramente se me simplificó todo, jaja.

Seba_SL escribió:. Igual sigo sin entender porqué de la otra manera me da 0

capaz que tenes un error en las cuentas, yo lo hice con la paremetrizacion que propones, haces las cuentas y demas y te queda

\[\int_{0}^{2\pi}\frac{6}{4\cos^2t+9\sin^2t}dt=2\pi\]

el campo no admite funcion potencial

Claro, me quedó esa integral. Saco el 6 afuera y la integral esa la busqué en la tabla de integrales que venden en la facu, jaja. Me da 0. \[6.\left | \frac{1}{2.3}tg^{-1}(\frac{3tg (t)}{2})\right | entre 0 y 2\Pi \] Tg de 0 y de 2pi es 0, arc tg de 0 es 0. Me queda todo 0. Igual ahora que lo estoy leyendo creo que el arc tg de 0 cuando calculo la tg de 2pi es 2 pi y no 0, porque justamente viene del cálculo de la tg de 2pi. Decime si hiciste eso por favor

pasa que tenes la calculadora en grados jeje pasa a radianes aplicando barrow tenes

\[\underbrace{\tan^{-1}(3/2\tan(2\pi))}_{=2\pi}-\underbrace{\tan^{-1}(3/2\tan(0))}_{=0}=2\pi\]