Tengo un tema con esta superficie.

\[S(u,v)=(u^2+v,2u^2-v,u^2+v^2)\]

Pregunta:
a) demostrar que la parametrizacion es regular
b) demostrar que la parametrizacion representa una superficie simple
c) demostrar que la superficie es orientable

A)

para saber si es regular, tengo que hacer el producto vectorial de las derivadas parciales.
\[S'(u)=(2u, 4u, 2u)\]
\[S'(v)=(1, -1, 2v)\]
El producto vectorial me queda
\[S'(u)xS'(v)=(2u+8uv , 2u-4uv , -6u)\]
podria sacar factor comun 2u y dejar como
\[S'(u)xS'(v)=2u(1+4v , 1-2v , -3)\]

De aca saco que el vector tangente para u=0 es el vector nulo, en este caso la superficie no es regular. pero cuando la grafico me encuentro con una superficie bastante linda como para pensar que no tiene vector tg en toda esa seccion (me parece que es un problema de interpretacion mio) :



b) Me pregunta si la superficie es simple.

al ver que la superficie por como esta definida se que
\[S(a,0)=(a^2+0, 2a^2+0, a^2+0)\]
\[S(a,0)=a^2(1,2,1)\]

Por lo que no se cumple por definicion que sea simple, pero de nuevo, viendo el grafico no veo que eso se cumpla, porque:
\[a^{2}=b^2\]
\[a=b \]
\[a=-b\]

c) y viendo todo esto, graficamente puedo ver una superficie orientable, pero con los resultados analiticos resulta lo contrario.


Se agradece que alguien me ilumine en esto

Recordá que una superficie tendrá puntos regulares o no de acuerdo a la parametrización elegida; por eso te pide justamente que digas si la parametrización es regular o no...hay un ejemplo clásico del tema, el casquete esférico, donde según qué parametrización tomes, el polo será o no regular...el resto te lo debo porque ya me olvidé de todo.