Buenas gente, vengo nuevamente con un ejercicio, ya que el anterior me resultó útil postearlo. A ver si me ayudan :

Dado el plano \[\pi : (x,y,z)= \alpha (1,-2,1) + \beta (3,-1,0)\]

y la recta L: \[(x,y,z) = (-2,2,1) + \lambda (1,-1,1)\]

Calcular la distancia ente el plano \[\pi \] y el PUNTO donde la recta corta al eje Z.

Traté de plantearlo asi:

Vectorial entre las rectas del plano, hallando la normal, pero me faltaria hallar el termino independiente D.

Luego, pasé a parametrica la recta, e iguale X e Y a 0 (x=0 y=0), que es donde la recta corta al eje Z. (z distinto de 0).

me dio \[\lambda =2\]

Luego, no se como sacar el termino independiente D, ni tampoco sé si lo que planteé, esta bien. De estar bien, supongo que solo falta hayar D, y aplicar formula de distancia entre punto y plano.


Espero me ayuden, Saludos.

Hola que tal. No existe la interseccion del eje "Z" con la recta. El sistema es incompatible.

Lambda seria 2 si la recta fuera: (-2,2,0) + lambda.(1,-1,1)

Respecto al plano, si alfa y beta fueran cero, el plano pasaría por el origen de coordenadas, por lo que el termino "D" seria cero.
Ojala lo que te haya dicho este en lo correcto. Que alguno pase a corroborar. Saludos.

la recta L: \[(x,y,z) = (-2,2,1) + \lambda (1,-1,1)\]

De acá sacás... que

\[0=-2 + \lambda \]
\[0=2 - \lambda \]
\[z=1 + \lambda\]

A mi me da que el punto sería el \[(0,0,3)\] con \[ \lambda = 2\].... Eso está mal?

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yo no le pondría término independiente al plano, je

Gracias por la ayuda a los 2. Me parece que lo que decis de la recta tiene sentido, lo del plano no sabria decir. Porque alfa y beta, estan escalando a los vectores directores de dos rectas, pertenecientes al plano. Y no sé si se puede hacer 0 asi nada mas... Me parece mas que estarias "dejando en 0" las rectas... Es raro igual, porque siempre te da un punto y 2 rectas, aca nop.

Y Aye, a mi me dio lo mismo que a vos. El tema es que no se si se hace asi xD, yo mandé fruta a ver que pasaba.


Mas alla de si están bien o mal las respuestas, gracias por contestar

Agrego: Damian, ahora lo pensé un poco, y lo que no entiendo es porque hacer 0 las Z. Si la recta puede cortar al eje Z, pero en cualquier punto. Eso no entiendo, como me doy cuenta si lo corta, y en que punto

Me equivoque, perdon. Defini mal el sistema y a Z lo llame lambda en vez de justamente Z como hizo Aye. Con respecto a lo que me decis pensalo geometricamente, dibujate el eje Z Y analizalo. Cualquier recta si es que lo corte, lo va a cortar en el punto (0.0.z) es decir en la coordenada 0 en "X", 0 en "Y" y ALGUN PUNTO DEL EJE Z.
Para encontrar la interseccion de dos rectas se hace lo siguiente:
Supongamos el eje "X" parametricamente: X=k
Y=0
Z=0 Con k perteneciente a los numeros reales.
Y una recta cualquiera tambien definida parametricamente: X=2+p
Y=p
Z=1+p con p perteneciente a los numeros reales.
Simplemente ahora se arma el sistema igualando las coordenadas.
k= 2+p
0=p
0=1+p
El sistema es INCOMPATIBLE por lo que la recta y el eje x no se cortan. Si el sistema fuera COMPATIBLE DETERMINADO, OBTENDRIAS UN VALOR DE k Y UNO DE P y para obtener el punto simplemente reemplazas en x,y,z los valores de p y k. En este caso se cortan en un punto (compatible determinado). Si el sistema fuera COMPATIBLE INDETERMINADO, las rectas serian las mismas.
Y Con respecto al plano del ejercicio vos lo podes plantear asi tambien:
X= alfa + 3beta
Y=-2alfa -beta
Z= alfa

Dandole determinados valores a alfa y beta vas a ir obteniendo diferentes puntos del plano. Si alfa y beta fueran cero obtendrias el punto (0.0.0) que es el origen de coordenas. A eso me estaba refieriendo yo.
Saludos