Observemos el siguiente dibujo:


El área de cada zona amarilla es el área del sector circular menos el área del triángulo ACD.

El área del sector circular es α · r^2, donde α = arccos(a/r).

El área del triángulo ACD es a · b, con b = √(r^2 - a^2).

Por lo tanto,

$$\text{Área total}=4(\text{Área amarilla})=4\left(\alpha r^2-\dfrac{\sqrt\pi\sqrt{r^2-a^2}}2\right)=4\left(\arccos{\left(\dfrac{\sqrt\pi/2}1\right)}\cdot1^2-\dfrac{\sqrt\pi\sqrt{1-(\sqrt\pi/2)^2}}2\right)=\boxed{4\left(\arccos{(\sqrt\pi/2)}-\dfrac12\sqrt{(1-\pi/4)\pi}\right)\approx0.2844\ldots}.$$