Buenas compañeros, agradeceria mucho si me pudieran ayudar con estos ejercicios del ultimo parcial de AM1 que me partieron al medio.


Saludos desde la FRA!

1.a) El teorema de Rolle establece que: sea f una función definida en el [a,b] y derivable en (a,b), entonces si f(a)=f(b) entonces existe un c tal que f'©=0. Lo que esto te dice es que si tenes por ejemplo una función que es creciente y tiene un máximo, luego decrece, entonces ese máximo es f©, luego por su condición de máximo f'©=0. Entonces si esto sucede, cuando sube y baja la función, no se cumple la suryectividad (o sobreyectividad) que es que para todo f(x) existe sólo un x, con lo cual ya no puede ser inyectiva.
Dicho de otro modo, si no existe un c en el (a,b) tal que f'©=0, la función es monótona creciente ó monótona decreciente, con lo cual la función es biyectiva.

1.b) Para este punto, lo que tenes que hacer es derivar esa función, lo que te obliga a aplicar el teorema fundamental del cálculo. Entonces te queda algo así como una "ecuación diferencial", donde tenes f'(x) en el primer miembro, y sen(x)+... en el segundo miembro. Entonces, una vez hecho eso volves a integrar y te queda la f(x) que necesitas. Luego de ahí usas los conocimientos de recta tangente, derivada, etc, del primer parcial.

2.i) La suma de una sucesión converge si el límite de las sumas parciales convergen. Como las sumas parciales convergen a pi, entonces la sumatoria converge.
2.ii) Que exista el límite de la sucesión, no implica que la sumatoria de la sucesión converge. Ejemplo: la sucesión a_n=1/n, si tomamos el límite tiende a 0, pero la sumatoria no converge.
2.iii) Eso es por lo aclarado anteriormente, en el punto 1.a. Pero a este ejercicio le faltan las hipótesis de extremo local: en un intervalo [b,c], si para todo x en este intervalo f'(a)=0 entonces f(a) es extremo local. Es distinto si para todo x del dominio, porque en este caso es un extremo absoluto.
2.iv) Verdadero, podes derivar y aplicar alguna relación de ambos lados de la desigualdad (o usar un ejemplo que te sirva como objeto visual).

b) Tenes que usar el criterio de D'Alembert. Este ejercicio se hace varias veces en clase, con una carpeta al día se puede resolver.

Saludos!

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Veo que aparece el simbolito de copyright. En realidad es f'( c )