Hola gente!, estoy resolviendo algunos finales para el ingreso y me tope con un ejercicio que no logro comprender ni leyendo la resolución del exámen, que es algo escueta encima...



Ahí arriba dejo el enunciado y también la resolución que me da en el pdf, pero no logro entender que es lo que hace.

El enunciado te da dos vectores proyecciones y te pide calcular el ángulo formado entre dos vectores involucrados en esas proyecciones (a y c) pero en la resolución calcula directamente el ángulo entre los vectores proyecciones no entre a y c...

Sin saber a y c puede calcular el ángulo entre ellos utilizando los vectores proyecciones?...

Siguiendo la lógica de la resolución agarre tres vectores conocidos e hice el cálculo para ver si el ángulo entre los vectores proyecciones coincidía con el ángulo entre los vectores originales (de la misma manera que en la resolución del ejercicio) pero no me dió... encima no esta explicado esto en el libro del ingreso, no sé de donde salió la verdad...

A ver si alguien puede ayudarme con esto, parece un ejercicio boludo pero no lo cazo!.

Saludos y gracias!!!

Te dejo la primera parte del ángulo la otra pensala vos un poco, si no termino resolviendo todo xd.
   

En realidad no entendi bien tu resolucion fir, al parecer estas haciendo lo mismo que en el pdf que subio NIKO18, sin aclarar algunas cosas

Te dan el vector proyeccion entonces basta recordar la formula

$$\mbox{Proy}_{\vec{a}}\vec{b}=\frac{(a.b)}{|a|}\vec{a}=(a.b)\cdot \hat{a}$$

dicho en palabras el vector proyeccion sigue la direccion de a, por esa razon contestando a tu pregunta

NIKO18 escribió:Sin saber a y c puede calcular el ángulo entre ellos utilizando los vectores proyecciones?...

si, ya que el vector proyeccion b sobre a y el vector proyeccion de b sobre c, te indica , en el ejercicio, que sigue la direccion de a y c respectivamente, es por eso que lo resuelve de la manera que

lo hace.

Observa que cuando tiene que calcular los versores asociados a la direccion de a, directamente toma $$\mbox{Proy}_{\vec{a}}\vec{b}$$ eso porque dicha proyeccion sigue la direccion del

vector a

NIKO18 escribió:Siguiendo la lógica de la resolución agarre tres vectores conocidos e hice el cálculo para ver si el ángulo entre los vectores proyecciones coincidía con el ángulo entre los vectores originales (de la misma manera que en la resolución del ejercicio) pero no me dió... encima no esta explicado esto en el libro del ingreso, no sé de donde salió la verdad...

si me decis como hiciste el ejercicio te digo donde podria estar el error ....

Plantee producto escalar entre vectores proyección y calcule el ángulo entre proyecciones

Gracias por las respuestas, ahora me pongo a ver lo que pusieron y veo si entiendo la resolución!

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Leyendo el enunciado y lo que me pusieron (y lo que llevo estudiado) concluyó que los vectores $$proy_{\vec{a}}\vec{b}$$ y $$\vec{b}$$ tienen la misma dirección, es decir, al proyectar el vector $$\vec{a}$$ sobre la recta de acción del vector $$\vec{b}$$ se obtiene el vector proyección cuya dirección coincide con la del vector donde se hace la proyección.

Lo mismo sucede con $$proy_{\vec{c}}\vec{b}$$ y $$\vec{c}$$ que también tienen la misma dirección.

Es algo bastante boludo (y obvio) pero hasta no toparme con este ejercicio no me lo puse a pensar...

Yo pensaba que para sacar el ángulo entre los vectores $$\vec{a}$$ y $$\vec{c}$$ había que primero determinarlos (sus componentes) y después si aplicar la forma de producto escalar de dos vectores y despejar.

Lo que se hace en este ejercicio es determinar el ángulo entre $$\vec{a}$$ y $$\vec{c}$$ sin conocer dichos vectores. Como son paralelos (igual dirección) a los vectores proyección dados, el ángulo entre $$\vec{a}$$ y $$\vec{c}$$ es el mismo que el ángulo entre
$$proy_{\vec{a}}\vec{b}$$ y $$proy_{\vec{c}}\vec{b}$$ respectivamente.

Finalmente utiliza los valores de los vectores proyección y su módulo para calcular el ángulo entre ellos, que es sencillo, lo sabía, pero no entendía porque utilizaba los vectores proyección en lugar de buscar los vectores $$\vec{a}$$ y $$\vec{c}$$ para luego buscar el ángulo entre ellos.

Lo mismo sucede con los versores asociados a una dirección , como comparten dirección el versor asociado a la dirección de $$proy_{\vec{a}}\vec{b}$$ es el mismo que el versor asociado a la dirección de $$\vec{a}$$ , y por eso calcula los versores asociados al vector proyección sobre $$\vec{a}$$ , el positivo y el negativo (en ambos sentidos).

Si dije alguna burrada o hay cosas que no son así (es lo que pude entender después de ver la resolución varias veces y leer sus respuestas) por favor corríjanme. Y si esta bien quedan las respuestas y la explicación para otra persona que este buscando este ejercicio, que por los que estuve haciendo es de los más rebuscados (hasta ahora que me dieron una mano).

Un abrazo y gracias de vuelta por las respuestas!.

Basicamente tenes que hacer lo que hizo feer... simplemente yo te contestaba a las dudas que planteaste .... la resolucion la podes tomar o la del pdf o la de feer ..... son lo mismo

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es correcto @NIKO18... es asi como se interpreta de manera geometrica la proyeccion de un vector sobre otro ...... obviamente que tenes que tomar la convencion para la notacion , por lo que lei que

entendiste , para vos

$$Proy_a b$$

significa la proyeccion del vector a sobre b

para mi

$$Proy_a b$$

es la proyeccion del vector b sobre a

en esencia "es lo mismo" lo importante es que hayas comprendido que significa geometricamente la proyeccion de un vector sobre otro

Hola saga, no, lo leo como decis vos: $$proy\vec{a_{v}}$$ sería la proyección del vector $$\vec{a}$$ sobre el vector $$\vec{v}$$ , es decir, la letra más grande es el vector de la proyección y la más chiquita (el subíndice) el vector donde se aplasta o se hace la proyección, al menos así lo entendí en el libro...

Vengo a joder de vuelta porque aplicando el concepto anterior de que que un vector a tiene la misma dirección que el vector proyección de b sobre a no llego a obtener el mismo ángulo. Acá va:

Dados estos tres vectores:

$$\vec{a}= \left ( 3, -1 \right )$$
$$\vec{b}= \left ( -2, 5 \right )$$
$$\vec{v}= \left ( 4, 6 \right )$$

* El ángulo entre $$\vec{b}$$ y $$\vec{v}$$ es:
$$\alpha = arccos(\frac{\vec{b}.\vec{v}}{\left | \vec{b}\vec{v} \right |})$$

$$\therefore$$ $$\alpha = 55^{\circ} {29}'{29.32}''$$

* Según lo que se hizo en el ejercicio anterior y lo que me comentaron en sus respuestas, tengo que:

La dirección de $$\vec{v}$$ y $$proy\vec{a_{v}}$$ (proyección del vector a sobre el vector v) es la misma, son paralelos.

En consecuencia, el ángulo formado entre el vector $$\vec{b}$$ y $$proy\vec{a_{v}}$$ debería ser el mismo que ya calculamos: $$\alpha = 55^{\circ} {29}'{29.32}''$$

ya que estamos calculando el ángulo entre dos pares de direcciones congruentes.

Haciendo los cálculos correspondientes (y para no hacer tan largo el mensaje) el vector proyección de a sobre v es:

$$proy\vec{a_{v}} = (\frac{24}{52}, \frac{36}{52})$$

* Finalmente, el ángulo entre $$\vec{b}$$ y $$proy\vec{a_{v}}$$ debería valer el mismo que antes:

$$\alpha = 55^{\circ} {29}'{29.32}''$$

Pero me da $$\alpha = 82^{\circ} {26}'{21.04}''$$

También compare los ángulos de los vectores $$proy\vec{a_{v}}$$ y $$proy\vec{a_{b}}$$ que según lo que entendí tienen también la misma dirección que $$\vec{v}$$ y $$\vec{b}$$ respectivamente y por ende determinar el mismo ángulo que estos dos pero no me da el mismo resultado $$\alpha = 55^{\circ} {29}'{29.32}''$$

Por eso, o estoy inventando como el mejor o haciendo cualquier cosa... Pero básicamente es el mismo procedimiento que se hace en la resolución del ejercicio del final, ya que considera como iguales las direcciones de los vectores a y c con la de las proyecciones sobre ellos.