Buenas, tengo un final de análisis matemático I y tengo una pequeña duda conceptual sobre los limites, esto es un verdadero o falso, si es verdadero justificar, si es falso dar contra ejemplo:

a) Si lim (x → c) = L y lim (x → c) = M entonces L=M

b) Si f© no esta definida entonces el lim (x → c) f(x) no existe

c) Si f´© existe (derivada) entonces f es continua en x=c

d) Si f(0)=g(0) y el lim ( x → 0) f(x) = 3 entonces el lim (x → 0) g(x)= 3

e) Lim x→2 f(x) = 5 , entonces f(2)=5

a) Falso, supongo que hablas del limite de dos funciones distintas por lo que no tendrian por que tener el mismo limite para x->c, podes demostrarlo con un contraejemplo con dos funciones cualquiera.
b) Verdadero, tiene que ver con el dominio de la funcion, si no existe para ese valor de x obviamente el limite no va a existir
c) Verdadero, no existe la derivada de una funcion en un punto donde no es continua
d) Verdadero
e) Verdadero, si f(x) es continua en ese punto

(09-09-2013 15:51)sebyelcapo escribió:  Buenas, tengo un final de análisis matemático I y tengo una pequeña duda conceptual sobre los limites, esto es un verdadero o falso, si es verdadero justificar, si es falso dar contra ejemplo:

a) Si lim (x → c) = L y lim (x → c) = M entonces L=M

b) Si f© no esta definida entonces el lim (x → c) f(x) no existe

c) Si f´© existe (derivada) entonces f es continua en x=c

d) Si f(0)=g(0) y el lim ( x → 0) f(x) = 3 entonces el lim (x → 0) g(x)= 3

e) Lim x→2 f(x) = 5 , entonces f(2)=5

A) verdadero. ya que lim(x->c) = lim(x->c) (no se si alcanza esto para justificar igual)

B) Falso, si f© no existe no se puede asegurar nada. recorda que el limite es en el entorno reducido del punto. por ejemplo la funcion x^2/x no esta definida en el 0, pero el limite existe en 0 y es 0.

C) verdadero, para uqe una funcion acepte derivada tiene que ser continua. el reciproco no existe (que una funcion sea continua no quiere decir que tenga derivada)

En a) debe hablar de una misma función, y la respuesta es Verdadera (si existe el límite, el límite es único).

En b), es Falso. El límite habla del comportamiento de la función al rededor del punto, pero no del comportamiento en el punto.

c) es verdadero porque la continuidad en el punto es condición necesaria de la derivabilidad.

d) es Falsa: el comportamiento en un punto de la función no habla del comportamiento alrededor de ese punto (límite). Como contraejemplo APB, definamos una función constante f : y = 3, mientras que g es una función por partes: y = 42 para todo x != 0, y = 3 si x = 0. Entonces, f(0) = 3 y g(0) = 3. Y el lím (x->0) f(x) = 3. Peeeeero el lím (x->0) g(x) = 42.

e) Falsa. Como dice arriba fcoppede, si la función fuera contínua en ese punto, sería Verdadera. Pero como la consigna no dice que lo sea, para el general de las funciones la implicancia esa ES FALSA.



Perdón por el asco de fórmulas y eso, cuando me sobre una vida más voy a aprender LaTeX.

(09-09-2013 15:51)sebyelcapo escribió:  Buenas, tengo un final de análisis matemático I y tengo una pequeña duda conceptual sobre los limites, esto es un verdadero o falso, si es verdadero justificar, si es falso dar contra ejemplo:

a) Si lim (x → c) = L y lim (x → c) = M entonces L=M

b) Si f© no esta definida entonces el lim (x → c) f(x) no existe

c) Si f´© existe (derivada) entonces f es continua en x=c

d) Si f(0)=g(0) y el lim ( x → 0) f(x) = 3 entonces el lim (x → 0) g(x)= 3

e) Lim x→2 f(x) = 5 , entonces f(2)=5

A) verdadero. ya que lim(x->c) = lim(x->c) (no se si alcanza esto para justificar igual)

B) Falso, si f© no existe no se puede asegurar nada. recorda que el limite es en el entorno reducido del punto. por ejemplo la funcion x^2/x no esta definida en el 0, pero el limite existe en 0 y es 0.

C) verdadero, para uqe una funcion acepte derivada tiene que ser continua. el reciproco no existe (que una funcion sea continua no quiere decir que tenga derivada)

D) Verdadero. Si existe el limite en el punto entonces es continua, y ambas funciones para x=0 tienden al mismo valor.

E) Falso, recorda que la existencia de ese punto no te asegura que la funcion sea continua.

El A lo podes justificar con: si F(x) es una función a cada elemento de x le corresponde un Y y que a cada elemento de x solo le corresponde un elemento de la imagen por lo tanto el entorno reducido debe ser el mismo en el punto y por lo tanto tiene que dar el mismo limite.