Buenas! Mañana rindo el recuperatorio del primer parcial, y para ello hicé todos los ejercicios del libro de parciales (menos los de final). Pero me topé con este que hace una hora no me sale, no se si falta algun dato o que (cosa que dudo mucho) , pero no me sale. Aca el problema:

El pentagono regular de la figura esta inscripto en una circunferencia. El perimetro del pentagono es \[10\sqrt{2}\] . Determine aproximadamente, que porcentaje del area del circulo representa el area sombreada.

Lo unico que hice fue sacar los lados a partir del perimetro y me dieron \[2\sqrt{2}\] cada uno.

El dibujo es este, le agregue colores a lo que yo vi a simple vista:



Muchas gracias

mira... voy viendo si te puedo ayudar, mas tarde, cuando llegue a casa te lo paso en grafico...
Vos tenes ahi, que cada lado del pentagono es \[2\sqrt(2)\], por ende, la mitad de solo eso va a ser \[\sqrt(2)\] .
Bien, vos hiciste un triangulo de linea celeste, verde y negro (este ultimo es la mitad de uno de los lados del pentagono).
Ahora mirá, la suma de los angulos internos de un pentagono es de 540° . Por lo que cada lado, tiene un angulo de 540°/5 . Que es 108°. Ahora, la mitad de 108° es 54°. Ahi ya te queda un triangulo rectangulo de base \[\sqrt(2)\] y ángulo 54° . Ya podes sacar la hipotenusa, que no es mas que el radio del circulo...

Radio de la circunferencia = \[\frac{\sqrt(2)}{cos(54)}\]

Lo demas, creo que lo podes hacer...ya tenes el radio de la circunferencia, sabes que el area es pi por radio al cuadrado...y el area de un poligono lo podes hacer con el angulo que te di. Sacas el area del triangulo y lo multiplicas por diez, que son la cantidad de triangulitos que hay dentro del pentagono.

   

Cualquier cosa consultá.

La proporcion va a ser: el area de la parte negra/ el area del circulo
Donde el area de la parte negra va a ser el area del circulo menos el area del poligono

Una cosa, sino sabes como supe lo del angulo interno total del pentagono, pensa que podes trazar tres triangulos dentro del mismo, y como cada triangulo tiene 180°... bue, segun mi abaco 180°x3=540°

Agradezco tu respuesta Taylor, pero puedo aplicar trigonometria en el recuperatorio del primer parcial?. Tengo entendido que no se puede

Solo tenes que recordar que el area del circulo es \[A_{1}=\pi r^2\]

y que el area de un pentagono regular es \[A_{2}=\frac{P\cdot ap}{2}\]

el area total pedida sera \[A_T\] donde

\[A_T=A_1-A_2=\pi r^2-\frac{P\cdot ap}{2}\]

viendo el dibujo se observa un triangulo rectangulo, entonces por pitagoras relacionas los lados con el apotema, y tambien que \[r=L\] entonces

\[ap=\sqrt{r^2-\left ( \frac{L}{2} \right )^2}=\sqrt{L^2-\frac{L^2}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2}L\]

ademas sabes que el perimetro del Pentágono es \[P=5L\] volviendo a la formula

\[A_T=A_1-A_2=\pi L^2-\frac{5}{4}L^2\sqrt{3}\]

finalmente, salvo error en alguna cuenta tenes

\[A_T(L)=\left ( \pi-\frac{5\cdot\sqrt{3}}{4} \right )L^2\]

No te dejan usar trigonometria, que clase de universidad maligna es esa!

La forma de Saga está buena tambien, pero quiero ver si me sale un método de aproximacion por cuadrados, pero me parece que solo sirve para poligonos de lados pares...igualmente, ya debes estar en el parcial. despues contanos como te fue!
Mucha Suerte!

PD: Saga, espere este momento toda mi vida..... tenes un error....es un pentágono, no heptágono.

Siendo L el lado de mi pentagono verdad? No pude notar que el radio era igual al lado, eso se debe a que forma un triangulo equilatero con el centro de circunferencia no?

(04-12-2012 10:24)Feddyn escribió:  Siendo L el lado de mi pentagono verdad?

Sep

Cita:No pude notar que el radio era igual al lado, eso se debe a que forma un triangulo equilatero con el centro de circunferencia no?

sep

Taylor: son detalles tecnicos jejejej, ahi lo corregí

Muchas gracias gente!, me voy a rendir. Deseenme suerte! jaja