Si alguien es tan amable de subir el final , lo agradecería

No tengo el final porque, entre los nervios y todo, me olvidé de sacarle una foto. ¡Booh! Pero te voy a relatar mejor posible lo que pedía cada ejercicio.

1. Definir el valor que debería tomar K según la relación S para que esta sea:
a. Reflexiva
b. Simétrica
c. Antisimetrica
d. Transitiva

aSb <=> -k^2 + ka + kb = a^2 + b^2 - 4

2. Te daba el grupo de Z(18) con la multiplicación y te pedía:
• Los inversibles.
• Demostrar que era grupo.
• Dar la red de subgrupos.
• Decir si esa red de subgrupos era un Algebra de Boole.

3. Demostrar:
a. La suma de los cubos de tres números consecutivos es congruente con 0 módulo 9.
b. Si (7,n)= 1 => 7 divide a ((n^12) - 1)

4. Te decía que tenías un grafo simple y conexo y que estos eran los grados de sus vértices: 4 4 3 3 3 3 3 3
a. ¿Cuantas aristas tiene? ¿Es un grafo euleriano?
b. ¿Puede ser un árbol?
c. ¿Puede ser bipartito?

5. Dar el valor de verdad:
a. Era un árbol, sinceramente no me lo acuerdo, te lo daba en polaca inversa y te preguntaba si la suma daba 25.
b. La siguiente expresión: [ParaTodo]x [ParaTodo]y E R / x^2 < y^2 => x < y. Se niega de la siguiente forma: [ExisteUn]x [ExisteUn]y E R / x^2 < y^2 v x > y. Más o menos este también, no me acuerdo bien si era al cuadrado o no. Jaja
c. Es imposible diseñar un autómata no finito que empiece con 2 y tenga una cantidad de ceros impares. Era dentro del lenguaje L = {0,1,2}

Más o menos esta el groso de las cosas. Del punto 1 vas a encontrar un ejercicio parecido en los finales anteriores, yo no lo hice durante en el final porque me bloqueé completamente. Lo demás intenté recordarlo lo mejor posible. Me terminé sacando un 6. Aprobaron bastantes me parece.

El 3-b era:
Si (7,n)= 1 => 7/(n^12-1)


De mi aula (la 58) aprobaron casi todos.

Ahí edite, no se porque mandé un 0 en vez de la "n". WTF. Jaja

En el 2) te daban el Z18 con que operacion?

Alguien sabe hacer el 1??

(15-02-2015 20:23)Camper escribió:  En el 2) te daban el Z18 con que operacion?

multiplicación.

Tambien pregunto por el 1!

NO CREO QUE ESTE BIEN, pero igualmente lo intente y me da algo asi, que opinan?:

Reflexiva:
aRb <-> -k^2 + ka + kb = a^2 + b^2 - 4
aRa <-> -k^2 + ka + ka = a^2 + a^2 - 4
. . . . . -k^2 + 2ka =2a^2 - 4
Lo rojo deberia ser igual a lo rojo, y verde igual al otro verde, por lo que no existe K que cumpla simultáneamente las 2 ecuaciones.

Simetrica:
aRb <-> -k^2 + ka + kb = a^2 + b^2 - 4
bRa <-> -k^2 + kb + ka = b^2 + a^2 - 4
Calculo que es para todo K, ya que la suma es conmutativa.

Antisimetrica:
aRb = bRa => a=b
-k^2 +2ka = 2a^2 - 4
Aca me quede..

Transitiva:
aRb <-> -k^2 + ka + kb = a^2 + b^2 - 4
bRc <-> -k^2 + kb + kc = b^2 + c^2 -4
Restamos las ecu para que se nos vaya b
........... ka - kc = a^2 - c^2 distinto de aRc => No existe K

(17-02-2015 13:51)Camper escribió:  Tambien pregunto por el 1!

NO CREO QUE ESTE BIEN, pero igualmente lo intente y me da algo asi, que opinan?:

Reflexiva:
aRb <-> -k^2 + ka + kb = a^2 + b^2 - 4
aRa <-> -k^2 + ka + ka = a^2 + a^2 - 4
. . . . . -k^2 + 2ka =2a^2 - 4
Lo rojo deberia ser igual a lo rojo, y verde igual al otro verde, por lo que no existe K que cumpla simultáneamente las 2 ecuaciones.

Simetrica:
aRb <-> -k^2 + ka + kb = a^2 + b^2 - 4
bRa <-> -k^2 + kb + ka = b^2 + a^2 - 4
Calculo que es para todo K, ya que la suma es conmutativa.

Antisimetrica:
aRb = bRa => a=b
-k^2 +2ka = 2a^2 - 4
Aca me quede..

Transitiva:
aRb <-> -k^2 + ka + kb = a^2 + b^2 - 4
bRc <-> -k^2 + kb + kc = b^2 + c^2 -4
Restamos las ecu para que se nos vaya b
........... ka - kc = a^2 - c^2 distinto de aRc => No existe K

en el 1, la parte reflexiva, llegué a lo mismo que vos, me doy cuenta que no existe K para que sea verdadero pero cómo te diste cuenta que lo verde iba con lo verde y lo rojo con lo rojo?
ya me di cuenta jej

la simétrica y la transitiva están bien, puse lo mismo. En la antisimétrica está bien lo que pusiste, pero no necesariamente a tiene que ser igual a b para que sea verdadero, por lo tanto no es antisimétrica (por lo que entiendo jaja). Lo que no sé es, una relación simétrica puede ser antisimétrica al mismo tiempo?

Sis, pueden ser al mismo tiempo.
Esto no se si es asi, lo estoy suponiendo: si NO es reflexiva, significa que no esta relacionada consigo mismo, por lo tanto no seria antisimetrica, porque si a=b se esta relacionando consigo mismo

Encontre esto en Wikipedia:
Existen relaciones que son simétricas y antisimétricas al mismo tiempo (como la igualdad), otras que no son simétricas ni antisimétricas (como la divisibilidad para los enteros), otras que son simétricas pero no antisimétricas (como la relación de congruencia módulo n), y otras que son antisimétricas pero no simétricas (como la relación "menor que").

El 3 alguien lo tiene hecho? No vi induccion en la cursada..

(17-02-2015 20:37)Camper escribió:  Sis, pueden ser al mismo tiempo.
Esto no se si es asi, lo estoy suponiendo: si NO es reflexiva, significa que no esta relacionada consigo mismo, por lo tanto no seria antisimetrica, porque si a=b se esta relacionando consigo mismo

Encontre esto en Wikipedia:
Existen relaciones que son simétricas y antisimétricas al mismo tiempo (como la igualdad), otras que no son simétricas ni antisimétricas (como la divisibilidad para los enteros), otras que son simétricas pero no antisimétricas (como la relación de congruencia módulo n), y otras que son antisimétricas pero no simétricas (como la relación "menor que").

El 3 alguien lo tiene hecho? No vi induccion en la cursada..

Claro, eso pensé, si NO es reflexiva, no es antisimetrica. Lo de wikipedia lo leí, pero no siempre la igualdad es simétrica y antisimétrica a la vez... no? osea en este caso no se cumple para mí.

Estoy en la misma, si alguien pudiera tirar aunque sea una punta del 3 sería genial

adjunto ejercicio 3b bien resuelto.

Se podria hacer por induccion pero es casi imposible hacer (n+1)^12 a mano

   

El 3a no se como se hace, pero es por congruencia también, hay que probar esto:

(x+1)^3 + (x+2)^3 + (x+3)^3 = 0 (9)

el igual es de "congruente", ni idea como hacer los tres palitos.

(17-02-2015 13:51)Camper escribió:  Tambien pregunto por el 1!

NO CREO QUE ESTE BIEN, pero igualmente lo intente y me da algo asi, que opinan?:

Reflexiva:
aRb <-> -k^2 + ka + kb = a^2 + b^2 - 4
aRa <-> -k^2 + ka + ka = a^2 + a^2 - 4
. . . . . -k^2 + 2ka =2a^2 - 4
Lo rojo deberia ser igual a lo rojo, y verde igual al otro verde, por lo que no existe K que cumpla simultáneamente las 2 ecuaciones.

Simetrica:
aRb <-> -k^2 + ka + kb = a^2 + b^2 - 4
bRa <-> -k^2 + kb + ka = b^2 + a^2 - 4
Calculo que es para todo K, ya que la suma es conmutativa.

Antisimetrica:
aRb = bRa => a=b
-k^2 +2ka = 2a^2 - 4
Aca me quede..

Transitiva:
aRb <-> -k^2 + ka + kb = a^2 + b^2 - 4
bRc <-> -k^2 + kb + kc = b^2 + c^2 -4
Restamos las ecu para que se nos vaya b
........... ka - kc = a^2 - c^2 distinto de aRc => No existe K

Eso está bien, me faltó la antisimetrica igual que a vos.

acá está el 2, creo que está bien pero no es seguro. Alguien puede confirmar?

en el enunciado del final aclaraba: que (z18, *) es semigrupo.

Cuando probamos que es simetrica, alcanza decir que todos los elementos tienen otro que operado por su inversa dan el mismo elemento.

   

El 2 esta bien, es algebra de boole porque es distributiva y complementada.
Se puede ver con \[\left ( SG;\cup ; \cap \right )\]

(18-02-2015 11:20)Trisky escribió:  acá está el 2, creo que está bien pero no es seguro. Alguien puede confirmar?
en el enunciado del final aclaraba: que (z18, *) es semigrupo.
Cuando probamos que es simetrica, alcanza decir que todos los elementos tienen otro que operado por su inversa dan el mismo elemento.

Probe de estas 2 maneras:
1. h^3 + (h+1)^3 + (h+2)^3
2. (h-1)^3 + h^3 + (h+1)^3

En ambos casos queda algo como 3x(polinomio).
Por congruencia modulo n, sabemos que \[a\equiv b(n) \Rightarrow a-b=n\cdot k\]
Entonces tenemos que \[3\cdot t -0=9\cdot k \wedge 9|3\cdot t\]

El tema es que 9 no divide a 6.
Se me ocurre que tal vez podemos tomar el polinomio, multiplicarlo por 3 y sacar factor comun 9.
3.[(h-1)^3 + h^3 + (h+1)^3] => nos va a quedar algo de la forma 9.t, donde t es el polinomio.
De esta forma si nos queda: \[9\cdot t -0=9\cdot k \wedge 9|9\cdot t\]

Escucho opiniones!
Alguno se esta preparando para el 25/2 ?

Agrego la solución del 4
a) dado que
\[\sum gr(v)=4*2+3*6=8+18=26 \]
\[\sum gr(v)=2\left | A \right |\]
Entonces: \[\left | A \right |=\frac{\sum gr(v)}{2}=\frac{26}{2}=13\]

Además, sabemos que para ser Euleriano, debe ocurrir que tiene camino o ciclo de Euler:
i. Para tener un Camino de Euler, los grados de todos sus vertices deben ser par, o exactamente 2 de ellos ser de grado impar.
ii. Para tener un Ciclo de Euler, los grados de todos sus vertices deben ser par.
Por lo tanto no es Euleriano.

b) Puede ser arbol?
En todo arbol se cumple \[\left | V \right | = \left | A \right | + 1\]
Teniendo en cuenta que \[\left | V \right | = 8\]
Y que \[\left | A \right | = 13\]
Vemos que no es posible que sea un árbol.

c) No puede ser un grafo bipartito (ya sea completo o no) por los grados de los vertices.
Si suponemos un K3,3, y le agregamos 2 vertices extra, vemos que podriamos obtener 2 de grado 4, pero luego tendriamos 4 de grado 3 y 2 de grado 2.

el 5a) 52-6*34++

y quedaba ((5-2)*6)+(3+4)) = 25

(13-02-2015 01:36)Juliet escribió:  No tengo el final porque, entre los nervios y todo, me olvidé de sacarle una foto. ¡Booh! Pero te voy a relatar mejor posible lo que pedía cada ejercicio.

1. Definir el valor que debería tomar K según la relación S para que esta sea:
a. Reflexiva
b. Simétrica
c. Antisimetrica
d. Transitiva

aSb <=> -k^2 + ka + kb = a^2 + b^2 - 4

2. Te daba el grupo de Z(18) con la multiplicación y te pedía:
• Los inversibles.
• Demostrar que era grupo.
• Dar la red de subgrupos.
• Decir si esa red de subgrupos era un Algebra de Boole.

3. Demostrar:
a. La suma de los cubos de tres números consecutivos es congruente con 0 módulo 9.
b. Si (7,n)= 1 => 7 divide a ((n^12) - 1)

4. Te decía que tenías un grafo simple y conexo y que estos eran los grados de sus vértices: 4 4 3 3 3 3 3 3
a. ¿Cuantas aristas tiene? ¿Es un grafo euleriano?
b. ¿Puede ser un árbol?
c. ¿Puede ser bipartito?

5. Dar el valor de verdad:
a. Era un árbol, sinceramente no me lo acuerdo, te lo daba en polaca inversa y te preguntaba si la suma daba 25.
b. La siguiente expresión: [ParaTodo]x [ParaTodo]y E R / x^2 < y^2 => x < y. Se niega de la siguiente forma: [ExisteUn]x [ExisteUn]y E R / x^2 < y^2 v x > y. Más o menos este también, no me acuerdo bien si era al cuadrado o no. Jaja
c. Es imposible diseñar un autómata no finito que empiece con 2 y tenga una cantidad de ceros impares. Era dentro del lenguaje L = {0,1,2}

Más o menos esta el groso de las cosas. Del punto 1 vas a encontrar un ejercicio parecido en los finales anteriores, yo no lo hice durante en el final porque me bloqueé completamente. Lo demás intenté recordarlo lo mejor posible. Me terminé sacando un 6. Aprobaron bastantes me parece.

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Capaz q mande fruta pero,

En el 4 c) use una propiedad de los bipartitos:

|V| = n + m
|A| = n - m

8=n+m => n = 8-m

13=(8-m) . m => m2 -8m +13 = 0 => no es bipartito.

(22-02-2015 20:13)kryptos escribió:  Agrego la solución del 4
a) dado que
\[\sum gr(v)=4*2+3*6=8+18=26 \]
\[\sum gr(v)=2\left | A ight |\]
Entonces: \[\left | A ight |=\frac{\sum gr(v)}{2}=\frac{26}{2}=13\]

Además, sabemos que para ser Euleriano, debe ocurrir que tiene camino o ciclo de Euler:
i. Para tener un Camino de Euler, los grados de todos sus vertices deben ser par, o exactamente 2 de ellos ser de grado impar.
ii. Para tener un Ciclo de Euler, los grados de todos sus vertices deben ser par.
Por lo tanto no es Euleriano.

b) Puede ser arbol?
En todo arbol se cumple \[\left | V ight | = \left | A ight | + 1\]
Teniendo en cuenta que \[\left | V ight | = 8\]
Y que \[\left | A ight | = 13\]
Vemos que no es posible que sea un árbol.

c) No puede ser un grafo bipartito (ya sea completo o no) por los grados de los vertices.
Si suponemos un K3,3, y le agregamos 2 vertices extra, vemos que podriamos obtener 2 de grado 4, pero luego tendriamos 4 de grado 3 y 2 de grado 2.