Hola gente, quisiera saber si alguien tiene para aportar los ejercicios resueltos de la guia de Biot-Savart.
Especificamente el ejercicio 168,171 y 175.

Saludos

168)

   

\[r^2 = (L/2)^2+l^2\]
\[sen \theta =\frac{L}{2r}=\frac{L/2}{\sqrt{(L/2)^2+l^2}}\]

\[\newline\newline\vec{dB} = \frac{\mu_0 i}{4\pi r^2} \vec{dl} X \hat{r} = \frac{\mu_0 i}{4\pi r^2} dl sen\theta \ \hat{k}= \frac{\mu_0 i}{4\pi ((L/2)^2+l^2)} \frac{L/2}{\sqrt{(L/2)^2+l^2}} \ dl \hat{k}\newline\newline \vec{B} = \frac{\mu _0 i L/2}{4\pi} \int ^{L/2}_{-L/2} \frac{dl}{((L/2)^2+l^2)^{3/2}} \hat{k}\]

Usando:
\[\int \frac{dx}{(x^2+a^2)^{3/2}}= \frac {x}{a^2\sqrt{x^2+a^2}}\]

\[\newline\newline\vec{B}= \frac{\mu_0 i}{2\pi L} \left ( \frac{L/2}{\sqrt{(L/2)^2+(L/2)^2}} + \frac{L/2}{\sqrt{(L/2)^2+(-L/2)^2}} \right )\newline\newline \vec{B} = \frac{\mu_0 i}{2\pi L} \frac{L}{\sqrt{2} L/2}\hat{k} = \frac{\mu_0 i}{\pi L\sqrt{2}}\hat{k} = \frac{\sqrt{2}}{2}\frac{\mu_0i}{\pi L}\hat{k}\]

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171)
El campo en p es la suma de los campos generados por el primer alambre semiinfinito, la semicircunferencia y el segundo alambre semiinfinito. Como para el caso de los alambres rectos, dl // r el campo magnético da 0, así que sólo hay que calcular el de la semicircunferencia.

\[\newline\newline\vec{dB} = \frac{\mu_0 i}{4\pi r^2} \vec{dl} X \hat{r} = \frac{\mu_0 i}{4\pi R^2} dl sen 90 (-\hat{k})= \frac{\mu_0 i}{4\pi R^2} dl(-\hat{k})\newline\newline\vec{B} = \frac{\mu_0i}{4\pi R^2}\int dl (-\hat{k})= \frac{\mu_0i}{4\pi R^2} \pi R (-\hat{k}) = \frac{\mu_0i}{4R} (-\hat{k})\]

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175)
La fuerza sobre un tramo del alambre 2 es:
\[\newline\newlined\vec{dF} = i_2 \vec{dl_2}X\vec{B_1} \newline\newline dF = i_2 dl_2 B_1 \]

El campo generado por un alambre infinito:
\[B_1 = \frac{\mu_0i_1}{2\pi r}\]

Nos queda:
\[F = \int ^{a+b}_a \frac{\mu_0i_1i_2 }{2\pi r}dl_2 \]

Como r va variando a medida que nos movemos por el alambre 2, tenemos que expresarlo en función de \[l_2\]

   
\[r = l_2 sen\alpha\]

Ahora integramos:
\[F =\frac{\mu_0i_1i_2 }{2\pi sen\alpha} \int ^{a+b}_a \frac{dl_2}{l_2} = \frac{\mu_0i_1i_2 }{2\pi sen\alpha} ln \left ( \frac{a+b}{b} \right ) \]

Muchisimas gracias Anirus, realmente lo necesitaba.
Saludos