HOla!

Por suerte estoy bastante bien y me salen todos los ejercicios de grupos, salvo estos . El grupo cociente en grupos finitos es muy simple, no hace falta mas que sacar las clases y operarlas entre sí, pero NO logro entender como sacar siquiera el conjunto cociente de un grupo infinito congruente modulo un subgrupo infinito.

Por ejemplo el grupo cociente de (Z,+) módulo (3Z,+) es (Z3,+), es decir las clases de los posibles restos de dividir por 3, o sea 3Z sería la clase del 0. Este es el unico grupo cociente que logro entender, los demás no entiendo como hacerlos, ejemplo:



Gracias!

Lo que te respondo ahora lo pensé anoche mirando el libro (pg. 301), el tema no lo había entendido antes ni me lo habían tomado en el parcial (por suerte), asi que si alguien me puede confirmar que está bien (o mal..) agradecería que lo haga.

Pienso que como son infinitos hay que usar una clase genérica (como se hacía antes con las relaciones de equivalencia), en Z con 3Z como eran grupos aditivos la clase de cada elemento se sacaba sumándolo con los elementos del grupo 3Z. Y las clases quedaban así :

\[\bar{a}\]={x∈Z/x=3k+a con k∈Z} , despues uno se daba cuenta de que x=3k+a era el algoritmo de la división por tres y que el resto a sólo podía ser 0,1 o 2.

En este caso los grupos son multiplicativos, asi que para sacar las clases de los elementos de G habría que multiplicarlos por los elementos de H. Como la multiplicación es conmutativa H es normal y genera las mismas clases operando por izquierda que por derecha.

Serían los elementos de G por \[11^s\], como x=\[2^k7^l11^s\] nos quedaría:

\[\bar{a}\]={x∈G/x=\[22^k7^l11^2^s\] con k,l,s ∈ Z}

Nos queda que 11 está elevado a 2s, en esa clase estarían todos los elementos de G que tienen el 11 elevado a exponente par, y los elementos que no cumplen con eso irían a una segunda clase.
En el grupo cociente tendríamos la clase de los elementos que tienen 11 elevado a un exponente par, y la de los que lo tienen elevado a un exponente impar.

OJO!! El exponente S no es el mismo en el grupo que en el subgrupo (son variables distintas, llamalas S1 y S2 por decir algo). El final en cuestión está resuelto, pero no entiendo la resolución. Adjunto la resolución (debí haberla adjuntado antes y preguntar en base a eso, perdón).



Entonces habrían infinitas clases?

Pensé que sería la misma ya que usaron la misma letra...
La respuesta que pusiste tiene como conclusión que cada elemento tiene una clase diferente(la cantidad de clases es igual a la cantidad de elementos, infinita) y por eso el grupo cociente sigue siendo G, pero el desarrollo de la resolución tampoco entiendo porqué es así. Lo único que se me ocurre es que como son elementos diferentes, siguen siendo diferentes cuando los multiplicas a todos por H, y que quizá querían mostrar eso al darle valor 0 a algunos exponentes (?)

No soy quien (es más, soy un alumno nuevo) para juzgar la resolución de la profesora pero sinceramente me parece que no es necesario especificar todas las clases ya que argumentando el formato generico sabemos que van a salir infinitas clases en las que tal vez algunas se destaquen. Por eso supongo que Peralta querrá que sean mencionadas sólo para sacarnos tiempo en el final xD.

Che Lean, ¿de qué fecha es ese final?. Digo, así lo hago bien bien y lo subo si me sale.

A ver, los elementos de G tienen el formato x = 2^k * 7^l * 11^s y los de H tienen el formato de y = 11^t.
Las clases que conforman el Grupo Cociente G/H van a estar dadas por los elementos de G operados con los elementos de H. Ya ha sido mencionado que la multiplicación de números enteros es conmutativa y por ende el subgrupo hereda esta característica. Por lo tanto, el subgrupo es normal.

O sea, cl(z) = z * H siendo z un elemento de G.
En este caso la primer clase genérica es 2^k * 7^l * 11^s:

cl(2^k * 7^l * 11^s) = (2^k * 7^l * 11^s) * (11^t) = 2^k * 7^l * 11^(s + t)
Ahora, tendríamos que preguntarnos qué pasa cuando las constantes están igualadas a 0 (es la única forma de que el 2, 7 y 11 se transformen en 1 dando lugar a una nueva clase con un formato distinto).

Si K=0 y l y s toman valores de Z =>
cl(2^0 * 7^l * 11^s) = (1 * 7^l * 11^s) * (11^t) = 7^l * 11^(s + t)

Si l = 0 y k y s toman valores de Z =>
cl(2^k * 7^0 * 11^s) = (2^k * 1 * 11^s) * (11^t) = 2^k * 11^(s + t)

Si s = 0 y l y k toman valores de Z =>
cl(2^k * 7^l * 11^0) = (2^k * 7^l * 1) * (11^t) = 2^k * 7^l * 11^t

Si K = 0 y l = 0 y s toman valores de Z =>
cl (2^0 * 7^0 * 11^s) = 11^s * 11^t = 11^(s + t)

Si K = 0 y l = 0 y s = 0 =>
cl (2^0 * 7^0 * 11^0) = (2^0 * 7^0 * 11^0) * 11^t = (11^t)
¡Esta clase conforma al subgrupo!

Si K = 0 y s = 0 y l toma valores de Z =>
cl (2^0 * 7^l * 11^0) = (2^0 * 7^l * 11^0) * 11^t = 7^l * 11^t

Si l = 0 y s = 0 y k toma valores de Z =>
cl (2^k * 7^0 * 11^0) = (2^k * 7^0 * 11^0) * 11^t = 2^k * 11^t

Y creo que no me faltó ninguna (y si faltó, supongo que a esta altura entendieron lo que intenté demostrar).

También tengamos en cuenta que si t = 0 se generaría el grupo G en la clase del 2^k * 7^l * 11^s.

En fin, yo pondría esas clases y argumentaría que como k, s y l pertenecen a un conjunto no finito el conjunto cociente no se puede definir por extensión.

PD: No sé usar LaTeX
PD2: Recién estaba estudiando para el final y por chusmear acá me puse a hacer esto, juas xD

Uf! gracias por las respuestas a los dos! deje medio colgado este tema pero ahora en 5 minutos me pongo a leer bien lo que escribieron e intentar resolverlo, edito el post si me sale

El final el es del 26 de mayo de 2010.

Claro, lo que decís está bien NathanDrake, la mina en la resolución lo que hace es generalizar la cosa, mostrando (como hiciste vos, en cada uno de los casos) que la parte de 11^t nunca se va. Entonces la clase de cualquier número siempre va a tener la estructura 2^k * 7^l * 11^t.

Lo que no entiendo es porqué no generaliza diciendo que cl(2^k * 7^l * 11^t) = 2^k * 7^l * 11^t

y en cambio pone cl(2^k * 7^l) = 2^k * 7^l * 11^t . Me pierdo mucho con los conceptos en este ejercicio.