Muy buenas. Quisiera preguntar sobre la siguiente desigualdad y el por qué específico de dicha selección.
https://i.gyazo.com/e69fd97dc8ae30cd6081...d4c130.jpg
Lo que no entendí es el motivo del por qué se ha elegido el resultado izquierdo y no el derecho.
Me gustaría saber si hay alguna cosa a memorizar para dichas ocasiones. Muchas gracias.

Fijate que en el resultado de la derecha te queda que x tiene que ser menor que 0 y que x tiene que ser mayor a 5. Es imposible cumplir con las dos condiciones al mismo tiempo por lo tanto ese resultado no es válido.

Hola, ¡bienvenido al foro! .
Al escribir cualquier expresión que requiera símbolos, números, etc. debés usar \[\LaTeX\] para poder facilitarnos las cosas.
Yendo a tu consulta,

Lo que hay ahí es una desigualdad, no una igualdad. La diferencia es que con la primera obtenés un intervalo donde la \[x\] cumple con la desigualdad (o no), y en la segunda obtenés un punto o varios (o no). En este caso la solución va a ser un intervalo.

Otra forma de tratar la desigualdad
\[\displaystyle\frac{20}{x} > 4\]
es que se puede representar sumando \[4\] miembro a miembro y sacando denominador común a izquierda:
\[\displaystyle\frac{20}{x} > 4 \Longrightarrow{} \displaystyle\frac{20}{x} - 4> 0 \Longrightarrow{} \displaystyle\frac{20 - 4x}{x} > 0\]
Acá aparece un cociente de dos funciones, y este cociente debe ser positivo (\[>0\]), por que los casos para que dos funciones sean positivas son que ambas sean positivas (\[\displaystyle\frac{+}{+} > 0\]) o que ambas sean negativas (\[\displaystyle\frac{-}{-}>0\]), por lo que ahora el trabajo es doble (tranquilo, no es laborioso en este caso). Así

\[(20 - 4x > 0 \; \textrm{ y } \; x > 0) \; \textrm{ o } \; (20 - 4x < 0 \; \textrm{ y } \; x < 0)\]

\[(20 > 4x \; \textrm{ y } \; x > 0) \; \textrm{ o } \; (20 < 4x \; \textrm{ y } \; x < 0)\]

\[\left(\displaystyle\frac{20}{4} > x \; \textrm{ y } \; x > 0\right) \; \textrm{ o } \; \left(\displaystyle\frac{20}{4} < x \; \textrm{ y } \; x < 0\right)\]

\[\left(5 > x \; \textrm{ y } \; x > 0\right) \; \textrm{ o } \; \left(5 < x \; \textrm{ y } \; x < 0\right)\]

Como se dijo arriba, el segundo caso nunca será cierto para algún \[x\] pues no puede darse la simultaneidad de las dos condiciones (que sea más grande que \[5\] y más chico que \[0\]). Sólo como comentario, si hubiera sido un "o" entre las dos condiciones, se toman ambas. Luego se llega a un absurdo:

\[\left(5 > x \; \textrm{ y } \; x > 0\right) \; \textrm{ o absurdo}\] que nos queda efectivamente la primera parte, por lo que el conjunto solución de la inecuación es

\[\boxed{\textrm{S} = (0, 5)}\]. Podés comprobarlo poniendo valores a \[x\] y ver que se cumple la desigualdad original para valores entre \[0\] y \[5\] (ambos extremos excluidos pues para \[0\] la división no está definida y para \[5\] queda \[4>4\], que es falso).

Nota: los símbolos \[\wedge\] y \[\vee\] denotan conjunción ("y") y disyunción ("o"), respectivamente.

Saludos.