tengo un ejercicio de integrales triples a ver si me pueden ayudar, dice que calcule el volumen fuera del cono \[z^2=x^2+y^2\] y dentro de la esfera \[x^2+y^2+z^2=1\]. cuando pongan los extremos de integracion me pueden decir como los sacan. gracias!

Saga es el que más clara la tiene, pero me parece que podrías sacar el volumen del cono entre \[-1\leq z \leq 1\] y eso restarselo al volumen de la esfera.

Creo q es bastante sencillo, no lo hice la verdad.

Para el cono, si no me equivoco sería:

\[-1\leq z \leq 1\]
\[0\leq \rho \leq 1\]
\[0\leq \varphi \leq 2\pi \]

a mi me dio

-√(1/2) < z < √(1/2)

0 < p < 1/2

0 < & < 2pi

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eso en cilindricas q casi siempre es mas facil, sino lo de bodhi esta bien en esfericas

Para empezar el enunciado nos pide el volumen de la region definida por la parte exterior del cono, y la parte interior de la esfera dada, y con una pequeña ayuda de un dibujo, tenes tres caminos para resolverla

1) por coordenadas cilíndricas
2) aplicando cilíndricas y tomando como variable dependiente r
3) por esféricas


1) la integral se divide en dos, sea la funcion g de cambio de coordenadas

\[g:R^3\rightarrow R^3/g(r,\theta,z)=(r\cos\theta,r\sin\theta,z)\quad |J_g|=r\]

evaluando dicha funcion en las superficies dadas, obtenes los limites de integración, observa que dicho recinto es simétrico con respecto al eje z=0, entonces podemos multiplicar por 2 a ambas

integrales solo para ahorrar cuentas

\[V=2\left ( \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\frac{1}{\sqrt{2}}}\int_{0}^{r}rdzdrd\theta \right )+2\left ( \int_{0}^{2\pi}\int_{\frac{1}{\sqrt{2}}}^{1}\int_{0}^{\sqrt{1-r^2}}rdzdrd\theta \right )=\frac{2}{3}\sqrt{2}\pi\]

2)

\[V=2\left ( \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\frac{1}{\sqrt{2}}}\int_{z}^{\sqrt{1-z^2}} rdrdzd\theta \right )=\frac{2}{3}\sqrt{2}\pi\]

3) defino la funcion g que representa el cambio de coordenadas cartesianas a esféricas

\[g:R^3\rightarrow R^3/g(r,w,\theta)=(r\cos w\cos\theta,r\cos w\sin\theta,r\sin w)\quad |J_g|=r^2\cos w\]

por definicion se cumple que

\[w\in\left [ -\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4} \right ]\quad \theta\in[0,2\pi]\quad r>0\]

los limites los sacas, analiticamente o con la ayuda del dibujo anterior, finalmente

\[V=\int_{0}^{2\pi}\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}\int_{0}^{1}r^2\cos w drdwd\theta=\frac{2}{3}\sqrt{2}\pi\]

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bodhi, con esas restricciones te falta agregar el "bochito" de arriba de al esfera, el recinto del cual nos piden el volumen es como "dos curucuchos" con sus respectivos "bochitos de helado", solo que acostados, por decirlo de alguna manera

mirinda no sé que cambio de coordenas usaste, para empezar los limites en z no son constantes, ademas te falto sumar el "bochito del curucucho"

(25-01-2013 03:43)Saga escribió:  bodhi, con esas restricciones te falta agregar el "bochito" de arriba de al esfera, el recinto del cual nos piden el volumen es como "dos curucuchos" con sus respectivos "bochitos de helado", solo que acostados, por decirlo de alguna manera

Si señor! ahí lo vi claro.

(25-01-2013 03:43)Saga escribió:  Para empezar el enunciado nos pide el volumen de la region definida por la parte exterior del cono, y la parte interior de la esfera dada, y con una pequeña ayuda de un dibujo, tenes tres caminos para resolverla

1) por coordenadas cilíndricas
2) aplicando cilíndricas y tomando como variable dependiente r
3) por esféricas


1) la integral se divide en dos, sea la funcion g de cambio de coordenadas

\[g:R^3\rightarrow R^3/g(r,\theta,z)=(r\cos\theta,r\sin\theta,z)\quad |J_g|=r\]

evaluando dicha funcion en las superficies dadas, obtenes los limites de integración, observa que dicho recinto es simétrico con respecto al eje z=0, entonces podemos multiplicar por 2 a ambas

integrales solo para ahorrar cuentas

\[V=2\left ( \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\frac{1}{\sqrt{2}}}\int_{0}^{r}rdzdrd\theta \right )+2\left ( \int_{0}^{2\pi}\int_{\frac{1}{\sqrt{2}}}^{1}\int_{0}^{\sqrt{1-r^2}}rdzdrd\theta \right )=\frac{2}{3}\sqrt{2}\pi\]

2)

\[V=2\left ( \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\frac{1}{\sqrt{2}}}\int_{z}^{\sqrt{1-z^2}} rdrdzd\theta \right )=\frac{2}{3}\sqrt{2}\pi\]

3) defino la funcion g que representa el cambio de coordenadas cartesianas a esféricas

\[g:R^3\rightarrow R^3/g(r,w,\theta)=(r\cos w\cos\theta,r\cos w\sin\theta,r\sin w)\quad |J_g|=r^2\cos w\]

por definicion se cumple que

\[w\in\left [ -\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4} \right ]\quad \theta\in[0,2\pi]\quad r>0\]

los limites los sacas, analiticamente o con la ayuda del dibujo anterior, finalmente

\[V=\int_{0}^{2\pi}\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}\int_{0}^{1}r^2\cos w drdwd\theta=\frac{2}{3}\sqrt{2}\pi\]

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bodhi, con esas restricciones te falta agregar el "bochito" de arriba de al esfera, el recinto del cual nos piden el volumen es como "dos curucuchos" con sus respectivos "bochitos de helado", solo que acostados, por decirlo de alguna manera

mirinda no sé que cambio de coordenas usaste, para empezar los limites en z no son constantes, ademas te falto sumar el "bochito del curucucho"

que no se supone que el jacobiano en coordenadas esféricas es: r^2\sen w

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en coordenadas esféricas la integral también queda de este modo:
0<= theta <= 2Pi
el ángulo fi queda: Pi/4 <= fi <= Pi/2
la distancia Ro queda: 0<= Ro<= 1

por lo tanto la integral nos queda así:


disculpa por no usar los mismos diferenciales en la imagen. pero es que es medio latoso andar escribiendo símbolos raros

Esta bien el jacobiano que propones en coordenadas esfericas, ese esta en funcion del angulo azimutal, si no me equivoco, el que propuse yo y se me enseño esta en funcion de la latitud (eso si no es al reves ), al margen,... ambos son validos en un parcial o final... la comodidad de las que uso yo es que con el perfil de la superficie deducis sin mucho esfuerzo los limites de integracion....