Hola, no me sale este ejercicio, a ver si alguien me puede ayudar:

\[\int sen(ln x) dx\]

Yo lo que hice fue reemplazar antes ln x por "y" y luego tome como u = y etnocnes du = dy y dv = sin(y) dy etnoces v = -cos(y)

y al reemplazar me quedo:

\[-y*cos(y)-\int cos(y) dy\]

Luego reemplazo y de nuevo por ln(x)

\[-ln(x)*cos(ln(x))+sen(ln(x))+c\]

Pero en la guia da como respuesta:
\[\int e^{t}*sin t = \frac{x}{2}*[(sin(ln(x))-cos(ln(x))]\]

Me dio muy parecido pero el x/2 ni a palos me dio

Casi casi, esa integral sale primero por sustitucion y despues aplicando dos veces partes

haciendo

\[y=\ln x\to x=e^y \to \int \sin(ln x)dx=\int e^y \sin(y) dy\]

por partes

\[\\u=e^y\to du=e^y\\\\ dv=\sin y\to v=-\cos y\]

la integral queda

\[\int e^y \sin (y) dy=-e^y \cos y+\int e^y \cos y dy\]

ahora por partes otra vez, intentalo sino te sale por aca andamos

Tambien podes hacer integracion por partes de una:



\[f'=1, f=x\]

\[g=sen(ln x),g'=cos(ln x).\frac{1}{x}\]

\[\int sen(ln x)=x.sen(ln x)-\int x.cos(ln x).\frac{1}{x}\]

\[\int sen(ln x)=x.sen(ln x)-\int cos(ln x)\]

Aplico integracion por partes de nuevo

\[f'=1,f=x\]

\[g=cos(lnx), g'=-sen(ln x).\frac{1}{x}\]

\[\int sen(ln x)=x.sen(ln x)-(x.cos(lnx)-\int x.-sen(ln x).\frac{1}{x})\]

\[\int sen(ln x)=x.sen(ln x)-x.cos(lnx)-\int sen(ln x)\]

Pasamos la integral para la izquierda

\[2\int sen(ln x)=x.sen(ln x)-x.cos(lnx)\]

\[\int sen(ln x)=\frac{x.sen(ln x)-x.cos(lnx)}{2}\]

(y sacando factor comun X se llega al resultado de la guia)

SIII, yo lo comencé a resolver asi, pero cuando vi que me quedaba nuevamente el seno y el ln dentro de este, pense que quedaba en un circulo vicioso . Gracias por la ayuda!!!