Buenísimo, gracias por responder.
Con la definición de entorno salió facilísimo.

Ahora estoy teniendo problemas con otro ejercicio. Dejo el enunciado.

La curva C esta trazada sobre la superficie de ecuación \[z=xy+x^{2}\], la proyección de C sobre el plano xy tiene ecuación cartesiana x+y=2.
Analice si la recta tangente a C en (1,1,z0) tiene algún punto en común con el plano xz.

Concluí que con la existencia de derivada ya era suficiente para que la recta tangente pase por el plano xz porque la proyección de la curva es una función lineal que corta al plano xz. Por lo tanto, la proyección de la recta tangente sobre xy es la misma que la de la curva. (es medio raro lo que dije, con dibujito es mas facil). Primero, no se si está bien el razonamiento o tiene alguna falla en el medio, caso que no estoy considerando.

Después creo que esto se fundamenta fácil diciendo que \[f(x,y)=xy+x^{2}\] es diferenciable y listo.

Pero seguí haciendo las cuentas para ver cuanto daba y me da resultados distintos y no se por qué.

Primero saque el gradiente de f y lo multiplique por el versor \[(\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}})\], que es la dirección de la recta. Me dio \[\sqrt{2}\].

Después intente hacer una composición parametrizando la recta. Me queda una h(t)=f(g(t)). Use la regla de la cadena y me da de resultado 2 :/

No estoy seguro de la conclusión que saqué al principio, ni de nada, porque me da distinto.

Bueno, gracias de nuevo por responder.

La verdad me perdi jjejeje , la curva es de la forma

\[C:R\to R^3/ C(x)=(x,2-x,x(2-x)+x^2)\]

\[z_0=2\]

entonces el punto por donde pasa la recta tangente es

\[P=(1,1,2)\]

todo se reduce despues a un problema de algebra , tenes que hacer la interseccion de esa recta con el plano y=0, lo podes concluir al ejercicio ahora ??

Si, ahí queda mucho más fácil, y hasta puedo sacar la intersección.

Igualmente no entiendo por qué me dan distintos valores.

que es lo que te da distinto ??

La derivada en la dirección de la curva de la superficie f(x,y)=xy + x^2

Lo hice primero haciendo el gradiente de f por el versor \[(\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}})\]. Esto creo que está bien porque la superficie es diferenciable y la dirección de la recta es esa. Esto me da raiz de 2.

Despues hice la composición h(t)=f(g(t)). Con g(t)=(t,2-t). Aplico la regla de la cadena y me queda:

h'(t) = grad(f)(g(t)) * g'(t)
en t=1 me queda -> (3,1)*(1,-1) = 2

No entiendo que estoy haciendo mal. Igual esta semana tengo clase asi que le pregunto a la profesora.

(03-08-2015 14:05)Fedelway escribió:  La derivada en la dirección de la curva de la superficie f(x,y)=xy + x^2

Lo hice primero haciendo el gradiente de f por el versor \[(\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}})\]. Esto creo que está bien porque la superficie es diferenciable y la dirección de la recta es esa.

pero esa es la direccion de la recta en R2, vos necesitas la recta en R3, si haces el gradiente de esa funcion lo que estas sacando (en R3) es el director de la recta normal