Gente:
Tengo una duda con derivadas direccionales.
¿Cuando la función está definida por tramos al calcular el límite, hay que dividirlo según la condición para x e y, pero que en el límite pasan a ser u y v?

Pero para el 6.a
\[f(x,y) = \left\{\begin{matrix}\frac{xy-x}{x^2+(y-1)^2}.si(x,y)\neq(0,1)\\0.si(x,y)=(0,1)\end{matrix}\right.\]

\[f'((0,1),(u,v))=\lim_{k\rightarrow 0}\frac{f(0+uk,1+vk)-f(0,1)}{k}=\lim_{k\rightarrow 0}\frac{f(uk,1+vk)}{k}=\]
Y acá me fijo:

a) Cuando u=0 y v=1
\[\lim_{k\rightarrow 0}\frac{f(0k,1+1k)}{k}=\lim_{k\rightarrow 0}\frac{f(0,1+k)}{k}=\lim_{k\rightarrow 0}\frac{0}{k}=\lim_{k\rightarrow 0}\frac{\frac{0(1+k)-0}{0^2.+(1+k-1)^2}}{k}=\]
\[\lim_{k\rightarrow 0}\frac{0}{k^3}=0\]

b) Demás casos (análogo a lo de arriba llego a):
\[\lim_{k\rightarrow 0}\frac{uv}{k}\]
Esto vale 0 cuando u.v es 0. Esto es cuando u=1 y v=0 ; u=-1 y v=0; u=0 v=-1.

Juntando las dos condiciones me quedaría:
u=1 y v=0 ;
u=-1 u v=0 ;
u=0 v=-1 ;
u=0 y v=1.

¿Lo resolví bien? Llegué al resultado pero no sé si le estoy pifiando en algo.
La duda es si siempre u y v tienen que tomar los valores de x e y para la condición.

Gracias!
Leandro.

Hola Lean que tal?

Mira este tipo de ejercicios se resuelve de la siguiente forma. Primero tenes que realizar la derivabilidad a través de una dirección generica (que sera un versor), por ejemplo u = (a,b). Luego cuando llegas a un resultado, ahi te fijas que valores pueden tomar a y b para que exista. Vamos a ir al caso del ejercicio 6.a).

Tenes la funcion partida y te dice que

si (x,y) =! (0,1) la funcion es:

\[\frac{xy-x}{x^2+(y-1)^2}\]

y si (x,y) = (0,1) esta toma el valor de 0. Nos piden hallar la derivabilidad en distintas direcciones en el punto A = (0,1) (como no podia ser de otra manera) y para ellos vamos a proponer un versor genérico: u = (a,b). Ahora apliquemos la formula de calculo de derivabilidad en una dirección u:

\[\lim_{h->0}\frac{f(A+h.u)-f(A)}{h}\]

Vamos a resolverla salteando pasos (supongo que entendes cual es el procedimiento a seguir).

\[\lim_{h->0}\frac{f(h.a;1+h.b)}{h}\]

\[\lim_{h->0}\frac{h.a.(1+hb)-h.a}{h^3.a^2+h^3.b^2}\]

\[\lim_{h->0}\frac{h^2a.b}{h^3(a^2+b^2)}\]

\[\lim_{h->0}\frac{a.b}{h(a^2+b^2)}\]

Ahora vamos a recordar algo: Como u = (a,b) es un versor, entonces:

\[a^2+b^2 = 1\]

Entonces lo de arriba se nos reduce a lo siguiente:

\[\lim_{h->0}\frac{a.b}{h}\]

Por ende la condición para que dicho limite exista (y así exista la derivabilidad en esa función en el punto A) es que a.b = 0. Para elloo:

a = 0 y b = +-1

o

a = +-1 y b = 0

Por que a o b tiene que tomar el valor de +-1? Bueno, si toma otro valor, ya no sera un versor y acordate que vos la derivabilidad lo haces respecto de un versor director. Finalmente las 4 direcciones posibles son:

(1,0) , (0,1) , (-1,0) y (0,-1).

Si bien vos lo resolviste así y esta perfecto, te escribí todo para que despejes cualquier dudita que puedas llegar a tener =D. Saludos y suerte!