Hola, chicos. Tengo problemas con este ejercicio:

Hallar la función inversa de \(f(x)=x^{2}-4x+3\) con \(x \leq 2\)

El ejercicio está resuelto, pero hay una parte que no entiendo. Primero expresa la función de la forma canónica \( (x-2)^{2}-1\) y luego despeja \(x\)

Y lo que no entiendo es cómo pasa de esta ecuación: \( y+1=(x-2)^{2}\) a esta: \( \sqrt{y+1}=-(x-2)\)

Entiendo que aplica raíz a ambos miembros. ¿Pero cómo es que \( |x-2|\) puede ser igual a \(-(x-2)\) ?... Sé que tiene que ver con la condición de la función \(x \leq 2\) y estuve buscando pero no terminé de entender... No me la creo que estuve todo el día intentado averiguarlo.

Vi en algunos videos que hay gente que directamente simplifica a \( \sqrt{(x-1)^{2}}\) y lo escribe como \(x-1\) . Esto me confunde porque tengo entendido que \( \sqrt{x^{2}}= |x|\) y que \( (\sqrt{x})^{2}=x\) Es así, no?

Gracias de nuevo!

Hola cnlautaro.

El módulo de x es: x, cuando x>=0; y -x cuando x<0, de manera que el módulo siempre da positivo.

En este caso, |x-2| es -(x-2) cuando x-2<0 => x<2, que es la condición que te dan.

También podés verlo en la ecuación que ponés: √y+1=−(x−2)

El miembro de la izquierda es positivo, porque es una raiz cuadrada, y si x<2, el paréntesis del miembro derecho es negativo. Por eso tiene sentido el menos adelante.
Igualmente esto último es una observación de las que se hace mientras se resuelve un ejercicio para ver si tiene sentido lo que te va dando. Un sanity check, digamos.
Si lo pensás desde la definición de módulo deberías llegar.

Hola, Lucho. Gracias por tomarte el tiempo. Me quedó claro... Vos me podrías responder a esto?

(10-08-2020 19:07)cnlautaro escribió:  Vi en algunos videos que hay gente que directamente simplifica a \( \sqrt{(x-1)^{2}}\) y lo escribe como \(x-1\) . Esto me confunde porque tengo entendido que \( \sqrt{x^{2}}= |x|\) y que \( (\sqrt{x})^{2}=x\) Es así, no?

¿Puede ser que a veces por conveniencia en las ecuaciones se simplifique a \( \sqrt{x^{2}}\) simplemente como \(x\), en vez de \(|x|\), o estoy confundido? Porque te juro que lo ví y me confunde un montón.

Saludos!

Hola

(10-08-2020 21:03)cnlautaro escribió:  ¿Puede ser que a veces por conveniencia en las ecuaciones se simplifique a \( \sqrt{x^{2}}\) simplemente como \(x\), en vez de \(|x|\), o estoy confundido? Porque te juro que lo ví y me confunde un montón.

Si lo preguntás es porque no entendiste la explicación de luchovl2. Volvé a leer con detenimiento.

Vale la pena mencionar que en general no es cierto que \(\sqrt{x^2}=x\), salvo que se explicite en algún lado que \(x\geq0\). Pensá en esta ecuación: \(\sqrt{x^2}=2\). ¿Cómo la resolverías sin pensar en todo esto y con la teoría elemental bien aplicada?

Otro recurso que puede interesarte es esta fracción de video: https://youtu.be/B4tG1d8rwLw?t=678

Saludos.

Hola, manoooooh. Qué buen video el que me pasaste. Responde mucho lo que estuve buscando. Me lo quedé mirando hasta el final. Les agradezco mucho la ayuda a ambos. Espero algún día poder razonar de esa forma.

Muchas gracias por la ayuda. Es muy importante prestar atención a la forma de hacer el despeje.