Me lo pidio un compañero de curso, lo resuelvo aca por el Latex que es re comodo, y de paso queda.
Y ya saben como se hacen los ejercicios al estilo Leone

yo puse esto en el parcial y me aprobo

La resolucion estilo "No Leone" esta en este link.

Cita:una barra metalida de longitud L gira con frecuencia angular \[\omega \] en una zona \[\overline{B}\] uniforme, perpendicular a la barra y entrante a la hoja.
a) Encontrar la fem inducida que se desarrolla entre los extremos de la barra
b) ¿Cual de los extremos es el de mayor potencial?

Dibujito "asi nomas"



El campo esta uniforme en todos lados

Resolucion:


Segun Faraday sabemos que \[\int_{c(t)}^{ }\bar{E}'.\bar{dl} = \varepsilon '_{i c(t)} = -\frac{d\o }{dt}\].
Siendo \[\varepsilon '_{i c(t)}\] la fem inducida. (la I es de inducida)

Ademas sabemos que \[\bar{E}' = \bar{E}_{i} + \left [ \bar{v} \wedge \bar{B} \right ]\], por lo que la circulacion por la curva OA queda

\[\int_{c(t)}^{ }\bar{E}'.\bar{dl} = \int_{OA}^{ } \left \{ \bar{E}_{i} + \left [ \bar{v} \wedge \bar{B} \right ] \right \}.\bar{dl}\]

Sabemos (nose conceptualmente porque, pero lo asumimos siempre) que \[ \bar{E}_{i} = \bar{0}\].
Por otro lado \[\bar{v} \wedge \bar{B}\] resulta ser, por definicion de producto vectorial (y debido a que el angulo entre estos 2 es de 90°)

\[\bar{v} \wedge \bar{B} = \left | v \right |\left | B \right | . sen (90°) . \breve{r}= \left | v \right |\left | B \right |.\breve{r}\]

El versor se pone porque luego tenemos que circular el vector a traves de la barra.
A su vez recordemos que \[v = w.r\] por lo que quedaria \[w.r.\left | B \right |.\breve{r}\].

Este vector, circulado por la barra (ahora el versor, por nomenclatura, se llamara \[\breve{dr}\]), resulta ser, en todos los puntos, paralelos(es decir, el producto de los 2 versores), por lo que podemos plantearlos en la integral y desaparecer su producto escalar (ya que al ser paralelos, da 1)

Reemplazando todo eso (el \[ \bar{E}_{i} = 0\], y los modulos de los vectores, y reemplazando ahora los limites de integracion) nos queda

\[ \int_{OA}^{ } \left \{ \bar{E}_{i} + \left [ \bar{v} \wedge \bar{B} \right ] \right \}.\bar{dl} = \int_{0}^{L}Bwr.dr.\breve{r}.\breve{r}\]

el producto escalar del final lo desechamos, y sacando \[B\] y \[w\] que son constantes en todos los puntos, queda

\[Bw\int_{0}^{L}r.dr = \frac{1}{2}B.w.L^{2}\]


Sobre el punto B, que pide el potencial, tenemos que partir de la formula de los agentes electrodinamicos y circularla sobre la barra. Esta nos dice

\[\bar{A_{d}} = \bar{E_{c}} + \bar{E'} + \bar{A_{m}}\]
siendo
\[\bar{A_{d}}\] el total de agentes electrodinamicos, el \[\bar{E_{c}}\] el campo coulombiano, el \[\bar{E'}\] el campo inducido? (no estoy seguro nunca de esto jajaj) y \[\bar{A_{m}}\] los agentes electromecanicos (ejemplo, una Pila, o algun generador.)

Si aplicamos circulacion por la barra, miembro a miembro, nos resulta

\[\int_{OA}^{ }\bar{A_{d}}.\bar{dl} = \int_{OA}^{ }\bar{E_{c}}.\bar{dl} + \int_{OA}^{ }\bar{E'}.\bar{dl} +\int_{OA}^{ } \bar{A_{m}}.\bar{dl}\].

Analizamos cada tramo

\[\int_{OA}^{ }\bar{A_{d}}.\bar{dl}\] nos da la Corriente de la barra por la resistencia del tramo \[\int_{OA}^{ }\bar{A_{d}}.\bar{dl} = I.R_{OA}\]

(hay un paso intermedio aca, mostrando que es equivalente a la circulacion de J por nose que constante, pero no es necesario)

\[\int_{OA}^{ }\bar{E_{c}}.\bar{dl}\] es un campo coulombiano comun. Como se ve en electrostatica, si fuese tramo cerrado nos da 0, como no lo es, nos da la diferencia de potencial

\[\int_{OA}^{ }\bar{E_{c}}.\bar{dl} = V_{A} - V_{O}\]




\[\int_{OA}^{ }\bar{E'}.\bar{dl} = \varepsilon '_{iOA}\] es la Fem calculada en el punto anterior.

y

\[\int_{OA}^{ }\bar{A_{m}}.\bar{dl} = \varepsilon '_{mOA}\] es la fem inducida por agentes electromecanicos.

Lo que se hace es asumir que esta ultima fem es 0 (porque bueno, no hay pilas, ni generadores, ni nada)
y ademas que la R (o la corriente I, eso no me queda muy claro cual de las 2 se pone, o los 2) es 0 tambien, por lo que queda la ecuacion


\[0 = V_{A} - V_{O} + \varepsilon '_{iOA}\]
\[V_{O} - V_{A} = \varepsilon '_{iOA}\]


como \[B, w y L\] son todos mayores a 0, todo el producto es mayor a 0, por lo que \[V_{O} - V_{A} \] es mayor a 0, por lo que \[V_{O} > V_{A} \].


PAra no conductor, el valor de la fem es la misma, y la diferencia de potencial.. bueno, no hay por lo discutido en este topic

La resolucion, va obvio solo la parte matematica, el texto son agregados mios para clarificar.
espero sirva, saludos

Ei es igual a 0 porque corresponde al punto de vista que tiene un observador que se mueve junto con el campo; o se toma el VxB (alguien ve girar la barra desde afuera) o el Ei (un observador se mueve junto con la barra todo el tiempo; en cuyo caso VxB=o (no observa que la barra se esté moviendo) pero sí observa la aparición de este campo NO coulombiano (el campo coulombiano es aquél cuya circulación nos proporciona la diferencia de potencial)