FinalAMI20-12-2017

No entiendo el ejercicio 4), se hizo alguna aclaracion sobre ese?

Lo mismo para el ejercicio 5), supongo que se pide el intervalo de convergencia

Hola Arshak,
no dieron ninguna aclaración respecto a ninguno de los ejercicios que mencionás, aunque me presenté a dar ese final y como me fue mal cuando le pregunté al profesor cómo se hacía el ejercicio 4) tampoco me supo explicar, lo único que me "mostró" era que pasando el sen x al primer término, y analizando la función resultante se llegaba a probar lo que decía el enunciado.

Yo hice el siguiente análisis:

La condición de ser "creciente" o "decreciente" de una función está vinculada al signo de la derivada primera. Lo que busco es probar que la función es estrictamente creciente en el intervalo de cero a infinito.


De esta expresión de la derivada sé que:




Entonces la derivada resulta ser positiva para el intervalo estudiado y, como no cambia su signo, entonces la función es estrictamente creciente en el intervalo, y distinta de cero para todo x mayor o igual a cero:


Eso es lo que se me ocurrió que podía ser la respuesta, aunque no puedo explicar bien cómo el cos(x) no afecta al crecimiento estricto de la función en el intervalo, pero se ve bien cuando la graficás.

Para el ejercicio 5), utilicé el criterio de D'Alambert y en lugar de hacer la desigualdad del límite con 1 le puse el 2 directamente, que es el radio que indican en el enunciado. El intervalo de convergencia me quedó:


Y como pide los valores de a, entonces el intervalo lo dejé en función de x:


Puede que no esté todo bien planteado, me estoy preparando para rendirla ahora y no se si tengo bien todos los conceptos.
Espero que te sirva y que se vea bien (es la primera vez que uso Latex).
Saludos.

Hola

(30-07-2018 04:52)Arshak escribió:  No entiendo el ejercicio 4)

Una manera es

\[\begin{matrix}2^{h(x)-5}+3x=\text{sen }x&\Leftrightarrow&\dfrac{2^{h(x)}}{32}+3x={\text{sen } x}\\\\ &\Leftrightarrow&{2^{h(x)}}={32(\text{sen }x-3x)}\\\\ &\Leftrightarrow&{h(x)}={\log_2{(32(\text{sen }x-3x))}}\\\\ &\Leftrightarrow&{h(x)={5+\log_2{(\text{sen }x-3x)}}},\end{matrix}\]

y probar que

\[5+\log_2{(\text{sen }x-3x)}\]

no es estrictamente creciente.

(30-07-2018 04:52)Arshak escribió:  Lo mismo para el ejercicio 5), supongo que se pide el intervalo de convergencia

No. Usando el criterio de D'Alembert se llega a que el radio de convergencia absoluta es

\[R\quad=\quad\dfrac 1{|1+a|}.\]

Por enunciado R = 2 y de ahí se obtienen los valores de a.

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(30-07-2018 17:13)Emmet escribió:  La condición de ser "creciente" o "decreciente" de una función está vinculada al signo de la derivada primera.

Bien, pero el enunciado no dice que la función sea derivable, así que a menos que te dejen usar esta hipótesis tu razonamiento no es correcto.

(30-07-2018 17:13)Emmet escribió:  Para el ejercicio 5), utilicé el criterio de D'Alambert y en lugar de hacer la desigualdad del límite con 1 le puse el 2 directamente, que es el radio que indican en el enunciado. El intervalo de convergencia me quedó:

\[\left | \left ( 1+a \right )\left ( x-2 \right ) \right |< 2\]

Hasta aquí de acuerdo salvo cambiar el 1 por el 2; el criterio dice que la serie converge absolutamente cuando el límite es estrictamente menor a 1. Por tanto la serie converge absolutamente si y sólo si

\[|x-2|\quad<\quad{|1+a|}^{-1}\]

y diverge si

\[|x-2|\quad>\quad{|1+a|}^{-1}.\]

Por tanto el radio de convergencia viene dado por

\[R\quad=\quad{|1+a|}^{-1}\quad=\quad\dfrac 1{|1+a|},\]

e imponiendo R = 2 se obtienen los valores deseados.

Saludos.

Ah... gracias Manoooooh,
Los valores de a entonces son a=-1/2 y a=-3/2, y puede ser que a tenga que ser distinta de -1? Si miro la serie tiene sentido porque es el valor que "hace cero" toda la expresión. Entonces, ¿debería aclarar que a tiene que ser distinta de -1?

Hola

(30-07-2018 18:49)Emmet escribió:  ¿Puede ser que a tenga que ser distinta de -1? Si miro la serie tiene sentido porque es el valor que "hace cero" toda la expresión. Entonces, ¿debería aclarar que a tiene que ser distinta de -1?

Decir que a ≠ -1 no me parece importante porque el enunciado pide aquellos valores que la cumplan, no que no la cumplan.

Saludos.

Se como resolver una serie de potencias por criterio de D'Alambert, pero en ningun lugar dice qué hay que hacer. Dice que hay que hallar A perteneciente a los reales para que la serie de potencias... nunca especifica qué se esta buscando.

(30-07-2018 21:53)Arshak escribió:  Se como resolver una serie de potencias por criterio de D'Alambert, pero en ningun lugar dice qué hay que hacer. Dice que hay que hallar A perteneciente a los reales para que la serie de potencias... nunca especifica qué se esta buscando.

El enunciado dice: "Hallar los valores de a perteneciente a los reales para que la serie de potencias tenga radio de convergencia igual a 2". Me parece que no viste la otra parte del enunciado que se encuentra más abajo

ajjajaj No lo habia visto, gracias. Lo tenia impreso y esa parte se corto!