no entendí en el ejercicio 4 , porque parametrizaste en g y que hiciste con la ecuacion \[z < 4-x^2-y^2\] y como sacaste n !!

(12-12-2011 01:19)Heidad escribió:  no entendí en el ejercicio 4 , porque parametrizaste en g y que hiciste con la ecuacion \[z < 4-x^2-y^2\] y como sacaste n !!

Por definicion si la superficie esta representada en forma parametrica como

\[g: R^2\rightarrow R^3/g(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))\] entonces el vector normal se puede representar como el producto vectorial de los vectores elementales

\[n=g'_u\times g'_v\]


lo unico que hago es parametrizar el cilindro \[x^2+y^2=2x\] despejando y, despues en la ecuacion que preguntas que hice simplemte la expreso como funcion de la paramtrizacion

\[z < 4-x^2-y^2=4-x^2-(\sqrt{2x-x^2})^2=4-2x\] lo ves???

saludos

muchachos una consulta, del Ejercicio 2, el ángulo de t no importa que sea un cilindro corrido de los ejes? se pone de 0 a 2pi si no tiene restriccion de los octantes? saludoss!!

Laureano1991, ¿cómo va?. En realidad no es un cilindro corrido, es un paraboloide elíptico descentrado (te recomiendo realizarte las trazas para que te des cuenta). Tenes que proyectar la superficie para saber el recinto sobre el que vas trabajar, eso te da una circunferencia de radio 2, a lo cual le tiras polares y ahí te da que va de 0 a 2pi. ¿Lo ves?.

Era un final raro, pero aprobable. Me saqué un 6.
En el primer teórico me bloqueé y el E3 no lo pude hacer, no había visto otro como ese. El E1 salía rápido parametrizando (con Stokes podías estar mucho tiempo) y el E4 lo hice con definición de flujo (imposible divergencia). Muy buen aporte!

Revivo, estoy preparando el final y se me dió por hacer el ejercicio 4 por Gauss... y no me coincide con el resultado que puso Saga. Quería saber donde tengo el error. Gracias!


Acá va el ejercicio...


\[x^2+y^2=2x\]

\[0 \leq z \leq 4-x^2-y^2\]



Cambio de coordenadas:

\[x=rcost \right y=rsent\]



Entonces los límites quedan así:

\[0 \leq r \leq 2cost \to 0 \leq 2cost \to 0 \leq cost \to \frac{\pi}{2} \leq t \leq \frac{3\pi}{2}\]

\[0 \leq z \leq 4-r^2\]



Divergencia:

\[\bar{f}(x,y,z)=(xy,x,xz) \to div(\bar{f})=x+y)\]



Me queda sólo plantear el flujo:

Integral Triple - Integral Doble \[ = 2\pi - \pi = \pi\]

(17-12-2011 10:03)matyary escribió:  Entonces los límites quedan así:

\[\frac{\pi}{2} \leq t \leq \frac{3\pi}{2}\]

Me tengo que ir ya y no puedo verlo con detenimiento, pero de lo que posteaste me hace ruido este límite en particular. Según el enunciado la superficie está delimitada en el 1er octante y ese intervalo no encaja en el mismo. ¿Será eso?. Mañana lo veo bien y de última lo vemos.

Saludos .

Dale gracias, puede ser lo que decís... ahora lo reviso.

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Saludos!

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Bueno estuve mirando y sí, tenés razón. De los dos posibles resultados que obtengo para el ángulo uno lo descarto porque no pertenece al primer cuadrante. Lo corregí, aunque sigue dando distinto al planteo de Saga.

Cita:\[0 \leq r \leq 2cost \to 0 \leq 2cost \to 0 \leq cost \to t_1=\frac{\pi}{2} \wedge t_2=\frac{3\pi}{2}\]

Como la región se encuentra en el primer cuadrante, los límites de ángulo son:

\[0 \leq t \leq \frac{\pi}{2}\]

\[0 \leq z \leq 4-r^2\]



Divergencia:

\[\bar{f}(x,y,z)=(xy,x,xz) \to div(\bar{f})=x+y)\]



Me queda sólo plantear el flujo:

Integral Triple - Integral Doble \[ = \frac{8}{5}+\pi - \frac{\pi}{2} = \frac{8}{5}+ \frac{\pi}{2}\]

Cambié los enlaces también, fijensé capaz quedó algo mal tipeado. Lo dudo, el error son mis neuronas que parecen pasas de uva a esta altura del año(?)

Que manera de complicarse jajaja para empezar tenes que restar mas de una tapa, la superficie es abierta o sea solo es el casquete del cilindro nada mas, tendrias que restarle la tapa de arriba, la de abajo y creo CREO que la tapa que limita el cilindro al primer octante, ahi tengo una duda, no lo hice por gauss ya que este tipo de ejercicios sale facil con la definicion.
El ángulo esta mal las dos veces que lo hiciste, en la primera estas considerando que el coseno es positivo en el 2 y 3 cuadrante lo cual no es cierto y despues de la correccion de Aivan tendrias que cambiar las coordenadas y plantearlas como lo hiciste en este post tuyo, como tomaste el angulo la primera vez deberia ir de \[\dfrac{3}{2}\pi\mbox{ a } \dfrac{\pi}{2}\] y no como lo hiciste

saludos

Lo del ángulo lo entendí y lo de las tapas no, pero no importa... es complicado por este método, claramente conviene parametrizar Jajaja quería hacerlo por Gauss pero ya me estoy dando cuenta que está pensado para justamente no aplicar divergencia.

Sip son tres tapas \[y=0\quad z=0\quad z=4-x-y^2\] lo entendes ?? aplicar divergencia podes, peeeeeerrrrrrro hay que tener presente que el flujo no fluye a travez de todo el volumen sino solo por el casquete del cilindro es por eso de restarle las tres tapas que te digo

Now yes, eso es porque en el tercer componente del campo hay un \[xz\], por eso hay que tomar para \[x=0\], \[z=0\] y \[z=4-r^2\]?

(17-12-2011 21:47)matyary escribió:  Now yes, eso es porque en el tercer componente del campo hay un \[xz\], por eso hay que tomar para \[x=0\], \[z=0\] y \[z=4-r^2\]?

No estoy hablando de las componentes, estoy hablando de las tapas del cilindro, esta tapado por los planos que te mencione, si usas divergencia ahi tenes que restarle esas tres tapas, el enunciado dice que es un cilindro abierto, o sea sin tapas, sin olvidarte poner las componentes en funcion de las parametrizaciones que vayan aparareciendo

Lindo detalle, no había prestado atenció al "superficie abierta". Igual, me quedo con la prametrización, mucho más sencillo. Gracias!

jeje perdon era \[y=0\] ya lo arregle, siempre es mas facil encarar este tipo de enunciados por definicion, asi te despreocupas si hay que restarle algo o no, ojo depende mucho del enunciado, tenes que saber que herramientas de las que tenés podes usar para que te faciliten el calculo, suerte en el final, y felicidades por firmar la materia