Les paso el final resuelto tomado ayer

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T1) De los datos sabemos que \[\iiint_V div f dV=32\pi\quad div f=3\]

para no confundir notacion defino \[x^2+y^2+z^2=R^2\] donde R es lo que me piden hallar, utilizando coordenadas esfericas

\[g:R^3\to R^3/g(r,\omega,\theta)=(r\cos\omega\cos\theta,r\cos\omega\sin\theta,r\sin\omega)\quad Dg=r^2\cos\omega\]

\[\omega\in\left [ -\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2} \right ]\quad \theta\in\left [ 0,2\pi \right ]\]

la integral a resolver es

\[\int_{0}^{2\pi}\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{R} 3r^2\cos\omega drd\omega d\theta=4\pi R^3\]

de donde

\[4\pi R^3=32\pi\to R=2\]

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E1) Sale por definicion, hallamos el punto B que sale de la interseccion

\[(2+3t^2)t+3=t+3\to t=0\to B=(2,0,3)\]

sabemos que \[\omega=\int_C fds=\int_{a}^{b}f(g(t))g'(t)dt\]

g es la curva que ya nos la dan parametrizada, asi que no hay mucho que pensar, haciendo las cuentas la integral a evaluar es

\[\int_{1}^{0}18t^4+14t^2+3t dt=-\frac{293}{30}\]

Fisicamente el campo propuesto frena el fluido

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E2) Sale por cartesianas, por definicion

\[m=\iiint_V \delta(x,y,z)dxdydz\quad \delta(x,y,z)=k|y|\]

de donde la integral a evaluar es

\[m=\int_{0}^{2}\int_{0}^{x}\int_{4-2x}^{4-x^2}y dzdydx=\frac{4}{5}k\]

el modulo no va porque y es mayor que 0

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E3) por definicion \[f(x,y)=\nabla\phi(x,y)=(2x-2,2)=(P,Q)\]

por defnicion de linea de campo \[\frac{dy}{dx}=\frac{Q}{P}\]

entonces

\[\int dy=\int \frac{2}{2x-2}dx\to y(x)=ln|x-1|+c\] curva que pasa por el \[(0,2)\] entonces

la curva pedida \[y(x)=ln|x-1|+2\]

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E4) Lo hago por definicion \[\nabla h(x,y)=\nabla f(g(x,y))\nabla g(x,y)\]

aproximo el punto punto por \[A=(2,4)\]

defino \[g(x,y)=(xy,x+z)\quad f(x,y)=4x-2y\]

\[\nabla h(2,4)=\nabla f(g(2,4))\nabla g(2,4)=\nabla f(8,6)\nabla g(2,4)\]

de donde

\[\nabla h(2,4)=(4,2)\cdot \begin{pmatrix} y &x \\\\ 1& 1\end{pmatrix}_{(2,4)}=(4,2)\cdot \begin{pmatrix} 4 &2 \\\\ 1& 1\end{pmatrix}=(18,10)\]

sabemos que \[h(2,4)=f(g(2,4))=f(8,6)=44\]

entonces

\[h(x,y)=44+18(x-2)+10(y-4)\]

finalmente

\[h(2,02;3,99)=44+18(2,02-2)+10(3,99-4)\approx 44,26\]

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Cualquier duda

un groso como siempre! ahora le doy una mirada a la resolución

Las respuestas en el foro son:

   

a simple viste, leyendo el tema, estaba bastante "hacible" o me parece a mí?

(25-07-2012 08:15)proyectomaru escribió:  a simple viste, leyendo el tema, estaba bastante "hacible" o me parece a mí?

No te parece, estubo "hacible"

Jajajja, me ganaste de mano, lo iba a resolver y subir, hoy justo lo compre!

Che fue un regalo, espero que la semana que viene tomen igual -_-

mmm sabés que no sé bien cómo es la mano, los finales los hace la misma persona por fecha o te pueden tomar una semana una belleza como éste, y la otra liquidan a todos?

nunca le presté atención a eso

Ni idea.. pero yo espero que tomen igual JAJA

vaya con fe, y vuelva con 4 (a menos que sea usted pretencioso)

Vos no pensas presentarte? jaja.

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Bueno a gran aporte dejo mi humilde aporte...
Faltaba el T2, me agarro un ataque de inspiración(?) y lo dejo para el que le sirva


   

Che en el E3 la integral..
Yo llegue hasta: ln|2(x-1)|+c=y

peeero porque te queda: ln|(x-1|+c=y?

El wolfram dice lo mismo-_- http://www.wolframalpha.com/input/?i=int...%282x-2%29

Pero no entiendo u.u

(26-07-2012 02:17)Feer escribió:  Che en el E3 la integral..
Yo llegue hasta: ln|2(x-1)|+c=y

peeero porque te queda: ln|(x-1|+c=y?

El wolfram dice lo mismo-_- http://www.wolframalpha.com/input/?i=int...%282x-2%29

Pero no entiendo u.u

me parece que cuando vas a hacer la integral sacás como factor común 2 arriba y abajo, entonces se simplifica y en realidad la integral que te queda es:

\[\int \frac{1}{x-1}dx\]

A que boludo! jajajajaja
Claaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaro!
Gracias!..
Bueno, me falto el E4 que no me da pero ya no es hora jajaja..., la verdad que definitivamente este era tranqui no había teoremas casi y la masa era muy fácil para conseguir limites..

En el foro de AM2 hicieron una aclaración respecto al E3 que vale la pena considerar. Igual decía que ambas respuestas estaban bien.

Off-topic:

Tenía una impresión vieja de la resolución, y el resultado del T1 no estaba bien, pero ahora vi que lo corregiste. No me deja borrar el mensaje desde la edición completa =(

Falta la divergencia en tu integral