Hola gente acá dejo el final que se tomo en la primer fecha de febrero, si alguien puede subir la resolución mejor. Saludos.
   

Pude hacer todos menos el primero, te paso mis respuestas. (aclaro que yo estoy preparando el final y puede que me halla equivocado)

2) a) S: A(x-2)^2 +(A+1)(y+3)^2 + 6z^2 = A

S: (x-2)^2 + [(A+1)/A](y+3)^2 + (6z^2)/A =1 ; con A distinto de 0

==> Si A>0, (A+1)/A < 0 por lo tanto: A+1 < 0 ==> A<-1 y A > 0 (conjunto vacio)
Pero Si A<0, (A+1)/A > 0 por lo tanto: A+1 < 0 ==> A<0 y A<-1 ==> Rta.: A<-1

b) Si A=3:

S: 3(x-2)^2 + 4(y+3)^2 + 6z^2 = 3 ==> (x-2)^2 +([(y+3)^2]/(3/4))+ (z^2)/0.5 = 1

Si,
(x-2)^2 +([(y+3)^2]/(3/4))+ (z^2)/0.5 = 1
y ==> (x-2)^2 + [(y+3)^2]/(3/4) = 1 ; Elipse
z = 0

por lo tanto: S interseccion z=0: x=cos t +2, y=[sqrt(3)/2] sen t -3 , z=0



3) T: P1 --> R2 / T[p(x)] = ( p(0); p(1) )

a) p(0) = 0 y p(1) = 0

p(x) = aX+b*1 ; base canonica de P1

T[p(x)] = a(0;1) + b(1;1)

despejo a y b: a=0 y b=0
reemplazo: p(x) = 0.X + 0.1 = 0
Rta. Nu(T) = {0}

b) T[p(x)] = (2;3)
(2;3) = a(0,1) + b(1,1)
despejo ay b: a=1 y b=2
reemplazo: p(x) = 1.X + 2.1 = X + 2
Rta. p(x) = X+2

4) armamos una matriz con los generadores:

0 1 1
1 0 0 Con gaus llegamos a que -3x es combinacion lineal del resto, por lo tanto, Rta. [W] = {1+x; x^2; -2+x}
0 2-2
0-3 0


5) AX = hX ==>(A-kI)X = (h-k)X

Si h es autovalor de A, entonces |A-hI| = 0.
Y si (h-k) es autovalor de (A-kI), entonces |(A-kI)-(h-k)I| = 0
por lo tanto: |A-kI-hI+kI| = 0 ==> |A-hI| = 0 Rta. Verdadero


Espero que se entienda, si alguien pudiese pasar el primero sería genial.
Saludos.

Hice esto en el 1 y me parece que da bien, ya que si reemplazas con (2,-2,0) en lo que planteo al principio sobre la distancia entre puntos las igualdades dan bien. Estoy preparándome para rendir así que no me sorprendería haber hecho cualquier cosa! Jajaja

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