Buenas gente, espero estén todos muy bien. En esta ocasión me encontré con un ejercicio que al resolverlo con toda la lógica del mundo no resultó correcto, o mejor dicho las respuestas obtenidas, si bien en parte correctas, no eran todas las respuestas posibles.

El ejercicio en cuestión dice así:

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*) Sean las funciones:

\[f : D_{f} \rightarrow R / f_{(x)}=9^{ log_{4}x} + 27\]

\[g:[0,2\pi) \rightarrow \mathrm{} R / g_{(x)}= \sin (2x) - \cos x\]

Determine:

\[\left \{ x \epsilon \mathrm{R} / f_{(x)}=12.3^{ log_{4}x} \right \} \cup \left \{ x\epsilon [0,2\pi)/ g_{(x)}=0 \right \}\]

Rtas: \[\left \{ 4, 16, \frac{\pi }{6}, \frac{\pi }{2}, \frac{5}{6}\pi , \frac{3}{2}\pi \right \}\]
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Muy bien, comenzamos. Antes que nada aclaro que en donde dice 12.3 (elevado al logaritmo en base 4 de x), es 12 POR 3, y no 12,3 (12 coma 3). Entonces planteamos la primer ecuación para hallar los X que satisfagan las condiciones:

\[9^{ log_{4}x} + 27 = 12.3^{ log_{4}x}\]

Este ejercicio lo pensé un rato largo, llegando a la conclusión de que al estar elevados el 9 y el 12x3 al mismo exponente, se puede operar con ellos haciendo:

\[27 = 36^{ log_{4}x} - 9^{ log_{4}x}\]


quedando finalmente:

\[ 27 = 27^{ log_{4}x}\]

, es decir que el logaritmo entonces tiene que valer 1 para que se cumpla la igualdad, y la X=4, ya que el log en base 4 de 4, es igual a 1.

Como pueden ver esta es una de las respuestas, pero no todas las posibles. El ejercicio exige plantear una cuadrática para resolverlo de manera que \[9^{ log_{4}x}\] es \[(3^{ log_{4}x})^2\]. Lo que da lugar a mi primer pregunta, cual fue el error en el razonamiento que hice al principio?

En un momento pensé que uno de los errores es que no se podia multiplicar al 12 por el 3, pero al plantear la cuadrática se interpreta el \[9^{ log_{4}x}\] como \[3.3^{ log_{4}x}\] (Es decir 3 al cuadrado). Entonces no estaría mal. De todas maneras si se toma:


\[3.3^{ log_{4}x} + 27 = 12.3^{ log_{4}x}\]

\[27 = 12.3^{ log_{4}x} - 3.3^{ log_{4}x}\]

y hago la resta como si \[3^{ log_{4}x}\] fuese una X, es decir hago 12 - 3:

\[27 = 9.3^{ log_{4}x}\]

\[\frac{27}{9} = 3^{ log_{4}x}\]

\[3 = 3^{ log_{4}x}\] Y otra vez arribamos al X = 4.



En la segunda ecuación, al resolver:

\[ \sin (2x) - \cos x = 0\]

Se podría pensar de esta manera, lo cual parece bastante correcto:

Sen de (2x) es, según las fórmulas de trigonometría, \[ 2\sin x \cos x\], entonces:

\[2\sin x \cos x - cos x = 0\]

\[2\sin x \cos x = cos x\]

\[2\sin x= \frac{cos x}{cos x}\]

\[2\sin x= 1\]

\[\sin x= \frac{1}{2}\]

Lo que da como resultado \[\frac{\pi }{6}\] y \[ \frac{5}{6}\pi \]. Que son 2 de las respuestas, pero están faltando otras 2. En este segundo caso el ejercicio exige que al tener:

\[2\sin x \cos x - cos x = 0\]

Se saca factor común \[\cos x\], quedando

\[\cos x (2\sin x - 1) = 0\]

Desde donde efectivamente se obtienen las 4 respuestas posibles:

\[\cos x = 0\] se cumple para \[ \frac{\pi }{2} \] y \[ \frac{3}{2}\pi\],

y para que

\[2\sin x - 1 = 0\]
\[2\sin x = 1\]
\[sin x = \frac{1}{2}\]

Y obtenemos las 2 soluciones que habíamos encontrado al principio: \[\frac{\pi }{6}\] y \[ \frac{5}{6}\pi \], completando así las 4 posibles soluciones.

La segunda pregunta es la misma que la primera jaj, como se reconoce que camino hay que tomar para hallar las X cuando aparentemente hay varios posibles? En otras palabras que cosas se me están pasando por alto?

Bueno eso es todo, espero no haberlos aburrido y gracias por adelantado por cualquier ayuda!

Abrazo

Para la parte de los logaritmos me parece q mandaste cualquiera xd no estoy seguro si podes restar o sumar de la manera q lo hiciste, para mi no pero bueno igual lo hice asi:

pero antes (x) quiere decir la potencia del log asi lo entendes ej log (2) x = log de base 2 de x

9^log (4) x + 27 = 12 . 3 ^log (4) x bueno esto es lo mas dificil darte cuenta q podes hacer esto:

3^2 . log (4) x + 27 = 12 . 3^log(4) x ---> 3^ [log (4) x] ^2 + 27 = 12 . 3^log(4) x entonces ahora pongo q
3^ log (4) x = y entonces nos queda y^2 + 27 = 12 .y ---> y^2 -12y +27

aplicamos cuadratica y nos queda 2 valores 9 ; 3

---> 9 = y = 3 ^log (4) x agregamos log (3) en ambos terminos log (3) 9 = log (4) x log (3) --> 2 = log(4) x
aplicamos la propiedad y queda x = 16

---> 3 = 3 ^log (4) x agregamos log (3) en ambos terminos log (3) 3 = log (4) x log (3) --> 1= log(4) x
aplicamos la propiedad y queda x = 4

ahora para la parte g(X) solo me quedaron 2 soluciones pi / 6 y 5pi/ 6 dsp cualquier cosa lo veo bien me enfoque mas q nada en el primero espero q te sirva

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las 4 soluciones de g(x) son las q pusiste y fijate las 2 de f(x) q yo te puse

(02-03-2013 00:40)brick123 escribió:  \[27 = 9.3^{ log_{4}x}\]

\[\frac{27}{9} = 3^{ log_{4}x}\]

\[3 = 3^{ log_{4}x}\] Y otra vez arribamos al X = 4.

A esto te referís? Es perfectamente válido, podés sacar factor común \[3^{ log_{4}x}\] y llegás a lo mismo.

Si si, es válido, pero fijate que las respuestas obtenidas no son todas las posibles.

Quizás no se entiende muy bien la pregunta que hago. En el primer mensaje traté de describir que si bien de esa manera se obtiene X=4 y es una respuesta correcta, si se arma la cuadrática se obtienen 2 respuestas en lugar de 1, y ambas son válidas (4 y 16). Y lo mismo con la otra ecuación (la trigonométrica), habría en principio 2 formas de llegar a la solución, pero depende cual elijas llegas a 2 soluciones o a 4 soluciones.

(03-03-2013 17:19)brick123 escribió:  Si si, es válido, pero fijate que las respuestas obtenidas no son todas las posibles.

Quizás no se entiende muy bien la pregunta que hago. En el primer mensaje traté de describir que si bien de esa manera se obtiene X=4 y es una respuesta correcta, si se arma la cuadrática se obtienen 2 respuestas en lugar de 1, y ambas son válidas (4 y 16). Y lo mismo con la otra ecuación (la trigonométrica), habría en principio 2 formas de llegar a la solución, pero depende cual elijas llegas a 2 soluciones o a 4 soluciones.

ahhhh ahhora si entiendo lo q decis claro si depende a veces de como arranques te van a dar las soluciones y siempre tendrias q poner todas la cagada q si no sabes las respuestas capas q no se te ocurre como encararlo y terminas quedandote con menos soluciones q estaria mal (por no poner todas) siempre me pasaba en las trigonometricas me olviidaba de sacar un factor comun y cosas asi

mira, en la parte que te queda.

\[27=12.3^{log_{4}x} -3.3^{log_{4}x}\]

lo podes escribir como por propiedades de la potencia.

\[27=12.3^{log_{4}x}- ((3)^{log_{4}x})^{2}\]

despues un conveniente cambio de variables. (asi dice mi profesor xd)

\[z^{2} -12z + 27= 0\]

a esto te da Z = 3 y Z = 9

\[3=3^{log_{4}x} \rightarrow x=4\]

\[9=3^{log_{4}x} \Rightarrow 3^{2}=3^{log_{4}x}\Rightarrow 2={log_{4}x} \Rightarrow 4^{2} = x =16\]


el resto te salio bien.



te falto el valor X= 16