Hola a todos, estoy preparando algebra tranqui para rendir en un par de dias y tengo dudas con un parcial que me pasaron.
Perdon por la calidad de las imagenes, la camara de mi celular no es muy buena

No hace falta que lo resuelvan todo porque es mucho laburo, solamente que me digan si lo que hice esta bien




Aca tengo una duda grosa, porque me sonaba de algun lado que tengo que asignarle valores a uno de los dos parametros, por eso a alfa la tome como si valiera 1 y despeje beta, y me quedo algo de este estilo: (1)x + (Beta - 1)y + (Beta)z + Beta = 0. Entonces si es paralelo al plano ese, que tiene normal (4,-2,2), las normales deben ser proporcionales.
Puse 4 / 1 = -2 / Beta-1 = 2 / Beta y despues de despejar B me quedo 0 = -2, osea que ningun plano es paralelo y me llama la atencion porque no creo que esa sea la respuesta. No veo que pude haber hecho mal la verdad



Este es el unico que no me salio, la parte b. Cuando haga la suma, me va a quedar un subespacio de dimension 5, y se que no puede haber mas de 3 vectores LI en R3, por lo que 2 se tendrian que ir, pero no se como desmotrarlo. Puedo plantear la ecuacion basica de Combinacion Lineal pero obviamente quedan 3 ecuaciones con 4 incognitas y se me viene a la cabeza algo de "grado de libertad", que le puedo asignar a una variable el valor que quiera y despejar las demas, es asi?

Muchas gracias y saludos

El ejercicio 2 sobre el Haz de planos esta bien, lo hice recien y me da lo mismo que a vos (sólo que yo no tomé alfa o beta como 1) los deje como variables.

Entonces me queda que alfa=0 | alfa=2beta | alfa= -2beta
Por ende no existe el plano del haz.

Con respecto al punto 5)b)

Podes demostrarlo planteando la el teorema de las dimensiones

Dim S1+S2 = Dim S1 + Dim S2 - Dim S1 \[\cap \] S2
3 = 3 + 2 - 2

Por ende no es suma directa. Corrijanme si me equivoco

Sobre el ejercicio del haz de planos, el plano del haz que cumple la condición es:

\[2x-y+z+1=0\]

Vos tenés un haz:
\[\alpha(x-y)+\beta (y+z+1)=0\]

Y es una mierda tenerlo así, porque tenés que andar con 2 variables para todos lados, entonces dividis los miembros por \[\alpha\] para obtener el haz de planos reducido.
\[(x-y)+ \gamma (y+z+1)=0\] donde \[\gamma = \frac{\beta }{\alpha }\]

Ahora es más fácil. Desarrollás y queda:

\[x+y(\gamma -1)+z\gamma +\gamma \] = 0

Entonces el normal del plano que estás buscando es:

\[\vec{n} = (1, \gamma -1, \gamma )\]

Después tenés que el normal del plano \[\pi\] es:

\[\vec{v}= (2, -1, 1)\] (simplificado)

Entonces la condición para que sean paralelos los dos normales es:

\[\vec{n}= \lambda \vec{v}\]

1) Planteá el sistema de ecuaciones.
2) Obtené el valor de \[\gamma \]
3) Reemplazá el valor de \[\gamma \] en la ecuación del haz.
4) Ahí ta tu plano.