1) Expresar el volumen en coordenadas cilindricas y esfericas
\[x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 2z , con z\geq 1\]

2)Calcule el flujo de f a traves de la superficie de ecuacion
\[x^{2}+y^{2} = 2x , con z\leq 4-x^{2}-y^{2}\]
en el primer octante, siendo \[f(x,y,z) = (1,x,z)\]

Gracias!

A qué llamás \[conz\]? \[cosz\]?
Saludos!

Es un limite de z..

Si, eso entiendo... pero no habrás querido poner \[cosz\]? En caso de ser así, me parece que...

Ejercicio 1:

Cilíndricas.

\[x=rcost\]
\[y=rsent\]


\[z \geq 1 \]

\[r^2+z^2 \leq 2z \to r^2 \leq 1-(1-z)^2 \to z \leq 1-\sqrt{1-r^2}\]


\[1 \leq z \leq 1-\sqrt{1-r^2}\]

\[0 \leq t \leq 2\pi\]

\[0 \leq r \leq 1\]

\[Vol = \int^{2\pi}_{0} \int^{1}_{0} \int^{1-\sqrt{1-r^2}}_{0} dzdrdt\]

Esféricas.

No sé, todavía no tengo muy en claro ésto.



Fijate si hay algún error, ahora veo el ejercicio 2.

no es coseno es la superficie CON z >= 1

Ejercicio 2:

También conviene utilizar coordenadas cilíndricas.

Entonces:

\[r^2=2cost\]

\[z \leq 4 - r^2\]

\[div(\bar{f})=1\]

Buscás los tres límites necesarios para plantear el flujo por divergencia. Acordate que:

\[x \geq 0\]
\[y \geq 0\]
\[z \geq 0\]

Si tenés algún inconveniente en resolverlo avisá.

Saludos!

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Ahhhhhhhh, recién leí eso. Disculpá no te había entendido. Modifico, esperá unos minutos.


MODIFIQUE ESTE Y EL ANTERIOR, FIJATE.

Pero con divergencia no hay q restarle niguna tapa?¿, como seria?

Sí, habría que restarle la tapa.

A ver, esperemos que salga...

\[0 \leq z \leq 4-r^2\]

\[0 \leq r \leq 2\]

\[0 \leq t \leq 2\pi\]

Y tendrías que hacer la integral triple de la divergencia por r (con estos tres límites) menos la integral doble (límites de r y t) de r para z=0.

Hola, para el primero de acuerdo con maty, aunque debe haber algun error de signo ya que en coordenadas cilindricas y esfericas me da con signo positivo, y a el con signo negativo

verifica el resultado con wolfram

Mi planteo, en cilindricas

\[g:R^3\rightarrow R^3/g(r,t,z)=(r\cos t,r\sin t,z)\quad \nabla g=r\]

\[V=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\sqrt{2z-z^2}}\int_{1}^{2}rdrdzdt=\frac{2}{3}\pi\]

wolfram

En esfericas

\[g:R^3\rightarrow R^3/g(w,t,r)=(r\cos w\cos t,r\cos w\sin t,r\sin w)\quad \nabla g=r^2\cos w\]

\[V=\int_{0}^{2\pi}\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}\int_{\frac{1}{\sin w}}^{2\sin w}r^2\cos w drdwdt=\frac{2}{3}\pi\]

wolfram

el segundo lo veo bien mas tarde, pero al parecer esta correcto, me fui a dormir

saludos

(25-01-2012 17:04)matyary escribió:  \[Vol = \int^{2\pi}_{0} \int^{1}_{0} \int^{1-\sqrt{1-r^2}}_{0} dzdrdt\]

Acá olvidé poner a \[1\] como límite inferior de \[z\].

(13-02-2012 03:19)Saga escribió:  Hola, para el primero de acuerdo con maty, aunque debe haber algun error de signo ya que en coordenadas cilindricas y esfericas me da con signo positivo, y a el con signo negativo

verifica el resultado con wolfram

Igualmente vos acá verificaste mi planteo poniendo el \[1\] que yo me olvidé y sin embargo da negativo. La verdad revisé pero no encuentro el error Jaja

Visto asi a vuelo de pajaro, me parece que tenes un error al completar cuadradados, recorda que la constante del termino cuadratico es negativa, por ahi te confundiste ahi

Consulta matyary...

A mi me quedó así:

\[\phi _{s} = \]\[\int_{0}^{2\pi }\int_{0}^{2}\int_{0}^{4-r^2} dz r dr d\varphi = 8\pi \]

Luego hice (para restar la tapa):

\[\phi _{t} = \]\[\int_{0}^{2\pi }\int_{0}^{2} f(x,y,z) \cdot (0,0,-1) dx dy\]

\[\phi _{t} = \]\[\int_{0}^{2\pi }\int_{0}^{2} (1,x,z) \cdot (0,0,-1) dx dy\]

\[\phi _{t} = \]\[\int_{0}^{2\pi }\int_{0}^{2} -z r dr d\varphi \]

Pero como \[z = 0\]:

\[\therefore \]

\[\phi _{t} = \]\[\int_{0}^{2\pi }\int_{0}^{2} -z r dr d\varphi = 0\]


Entonces resultaria:

\[\phi = \phi _{s} - \phi _{t} = 8\pi - 0 = 8\pi \]


Esto es correcto?

Sí, a simple vista parece estar correcto.

Gracias matyary!