Buenas Gente, estoy con este par ejercicios de 2do parcial que no se como hacerlos si bien se que tengo que usar el teorema fundamental del cálculo integral no puedo terminarlos, me pierdo... Si alguien me da una mano seria de mucha ayuda, gracias.

Tiro una idea porque ya no me acuerdo nada:

Te dan el polinomio asociado a f(x) que es:

P1(x)=2+5(x-4), yo de acá saco que f(4)=2, esto por un lado.

Me movilizo a la otra ecuación y tengo lo siguiente:

G(x)=\[\int_{4}^{x^{2}+3}\] t.f(t) dt

A mi me piden el polinomio de grado dos en x=1 (me lo dan que lo desarolle como potencias de (x-1))

Lo primero que hago es calcular G(1) que me da una integral que varía entre 4 y 4 porque me queda:

\[\int_{4}^{1+3}\]

Entonces tengo G(1)=0

Despues aplico el teorema del calculo integral creo que se llamaba o bueno simplemente el teorema que se usa para esto:

G'(x)= (\[x^{2}+3\]) . f(\[x^{2}+3\]) . 2x

G'(1) = 4 . f(4) . 2 = 8 . f(4) = 8 . 2 = 16

Finalmente para calcular G''(x) derivo G'(x):

\[G''(x)= (6x^{2}+6).f(x^{2}+3)+(2x^{3}+6x).f'(x^{2}+3).2x\]
Reemplazás con los datos que tenes:

f(4)=2

Y para sacar f'(4) te fijás en el polinomio que es 5 siguiendo bien la estructura.

Entonces finalmente G''(x)= 104

Y el polinomio que te piden queda:

\[P2(x)=0+16(x-1)+52 . (x-1)^{2} \]

No se si está bien no lo tengo muy fresco, pero le puse ganas eh

Muchísimas gracias por molestarte Matias! pero creo que seria G"(1)= 104 no?
Tenes idea si en el ejercicio de abajo el punto a, una vez q averiguo G'(x) lo reemplazo directamente por f(t)?

Tenés razón! Ahí lo arreglé

En el de abajo vos tenés una función G(x) que representa el área de la función f(t) entre los valores de 0 a X en el intervalo [0,6]

En el punto a) te piden G(6) teoricamente no? O sea G(6)=0, análogamente diría que c) es G(3)=3 y la que me queda duda

es el punto b) que te piden f(3), yo arriesgaría que es f(3)=0 porque me imagino por ejemplo una función seno de período 2pi, cuando tengo digamos área máxima? en pi.. cuando cruza para y negativo empieza a disminuir hasta que llega a 2pi y es 0.

No se, arriesgo eh, la hora no ayuda mucho..

Saludos