Subo el Ejercicio 1 del Final tomado en Mayo de 2014 y subo también el final para quién lo necesite o quiera resolver.

Tengo un problema en el Ejercicio 1, cómo calculo la serie exponencial de fourier de esta función?

\[x(t)=3cos(w_{1}t+\frac{\pi}{4} ) + 4cos(w_{2}t)+ 2cos(w_{3}t)\]

w1=1Khz
w2=3Khz
w3=5Khz

Hasta ahora llego a:

\[cn=\frac{1}{T_{0}}\int f(t)e^{-inw_{0}t}\]
\[cn=\frac{1}{2\pi}\int cos(bt)e^{-at}\]
\[cn=\frac{1}{2\pi}\frac{e^{at}(acos(bx)+bsen(bx))}{a^{2}+b^{2}}\]

Esa sería la fórmula general para cada coseno pero me parece que es muy larga para lo que pide el ejercicio, a alguién se le ocurre otra forma?

Por otro lado la Frecuencia Fundamental concluyo que es 1Khz por ser divisor comun de 3Khz y de 5Khz.

Hola. Esa función ya esta expresada como suma de exponenciales (fórmula de Euler).
No hace falta plantear el formuleo ese.

Llevalo a la forma: sumatoria a_k * e^(k*w*t)

Después por inspección sacás cada a_k.

(10-07-2014 15:46)luchovl2 escribió:  Hola. Esa función ya esta expresada como suma de exponenciales (fórmula de Euler).
No hace falta plantear el formuleo ese.

Llevalo a la forma: sumatoria a_k * e^(k*w*t)

Después por inspección sacás cada a_k.

Gracias por responder pero no te entiendo muy bien, vos decis que pase el coseno a la forma:

\[cos(x)=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}\]

y a partir de ahí sacar los \[a_{n}\] ?

No veo cómo, porque de todas formas queda una integral bastante larga
Gracias

Lo que digo es: reemplazá los cosenos en x(t). Olvidate de la integral.

Pensá que la serie de Fourier consiste en expresar una función cualquiera (periódica en caso de la serie) como una sumatoria de exponenciales complejas relacionadas armónicamente. Pero si la función ya viene expresada como una sumatoria de exponenciales blabla, entonces los términos de la serie los sacás por inspección.

Creo que ya te entendí, entonces operando un poco quedaría:

\[cos(w_{1}t+\frac{\pi }{4} )= cos(w_{1}t)cos(\frac{\pi}{4})-sen(w_{1}t)sen(\frac{\pi }{4})\]
Si \[w_{1}=2\pi*1khz\] entonces \[sen(w_{1}t)=0\]

Quedando la serie:
\[x(t)=\frac{3}{\sqrt{2}}cos(w_{1}t)+4cos(w_{2}t) +2cos(w_{3}t)\]

Ahora tengo esta duda: si la frecuencia fundamental es 1Khz, cómo es posible que \[cos(w_{1}t)\] tenga su amplitud menor a \[cos(w_{2}t)\]. Supuestamente el armonico de frecuencia fundamental tiene mayor amplitud que cualquier otro.


Muchas gracias

Creo que no me entendiste del todo.
Con Fourier el objetivo es expresar una señal x(t) como una suma de exponenciales complejas relacionadas armónicamente.
Entonces x(t) va a tener la forma: a_0 + a_1 * e^(j*1*w*t) + a_2 * e^(j*2*w*t) + a_3 * e^(j*3*w*t) + ...
En realidad empieza desde menos infinito, no desde cero.

Tu x(t) es una suma de cosenos. Cada uno de esos cosenos los podés expresar como exponenciales complejas con la fórmula de Euler: cos(wt) = 1/2 * (e^(j*w*t) + e^(-j*w*t))

También podrías aplicar la definición, hacer la integral y demás, pero claramente es innecesario en este caso.

Entonces, aplicás Euler y reacomodás para que te quede de la forma que puse arriba, y de ahí sacás los a_k.

Respecto de cómo puede ser que la fundamental sea más chica que la armónica: primero, está mal lo que hiciste con el coseno y el seno, el seno no se anula, porque es 1kHz*2pi*t. Pero más allá de eso, no siempre la fundamental es la más grande.
Si armás una poliarmónica con generadores de funciones en serie, nada te impide poner las amplitudes que quieras. Podés hacer la novena armónica gigante y la fundamental chiquita, o hasta anularla.

Hola gente,

Escribo respuesta del ejercicio nro. 2 por si alguien lo hizo, para que sirva de estudio y para verificar si lo hice bien o no.


Para resolverlo, delante del sumador coloqué un \[X1_{(s)}\] y obtuve las siguientes ecuaciones:

\[X_{(s)}=X1_{(s)}({1+\frac{2}{s}+\frac{10}{s^2}})\]

\[Y_{(s)}=\frac{1}{s^2}X1_{(s)}\]


\[H_{(s)}=\frac{1}{s^2+2s+10}=\frac{1}{(s+1)^2+9}=\frac{1}{(s+1)^2+3^2}\to h_{(t)}=\frac{1}{3}e^{-t}sen(3t)u_{(t)}\]

\[H_{(s)}\] sin ceros y con polos en \[s_1=-1+j\] ; \[s_2=-1-j\]


A la vez de la transferencia despejo y obtengo la expresión:

\[X_{(s)}=s^2Y_{(s)}+2sY_{(s)}+10Y_{(s)}\]

... de donde calculo el antilaplaciano y hallo la ecuación diferencial que representa el sistema dado.

\[x_{(t)}=\frac{dy^2_{(t)}}{dt^2}+2\frac{dy_{(t)}}{dt}+10y_{(t)}\]


Muchas gracias!
Saludos