Tengo este ejercicio.
7) Dado los vectores A=i+3j-2k, B=4i-6j+5k, descomponga el vector B en la suma de dos vectores: Uno en la misma dirección que A y otro en una dirección ortogonal a A. Si alguien me puede ayudar estaría agradecido y mucho.

A*n + C = B, con n un numero real.

sabes que C*A = 0.

la manera mas facil de encontrar un vector perpendicular a otro es asignale 0 a una de sus componentes (x, y, o z). con lo que te queda
( Ax * Cx , Ay * Cy , Az * Cz), con una de las tres componentes de C = 0. (Cx , Cy , o Cz)

conoces A, conoces B, te falta C y el factor n.

de las 3 componentes de C sabes que una va a ser 0.

fijate si con eso encontras una ayuda.

Primero tenes que plantear dos ecuaciones
La primera del ortogonal, quiere decir que un vector X (a; b; c) multiplicado por el vector A te tiene que dar cero, entonces de ahi planteamos
\[(a; b; c) * (1; 3; -2) = 0\]
Y realizamos la multiplicación \[(a; 3b; -2c)\]
\[a+3b-2c = 0[tex]A= -3b+2c\]
Y nos deja como primer ecuación de vector
\[( -3b+2c; b; c)\] (donde reemplacé el valor de a para tener dos incognitas.
Luego, hacemos la de la misma dirección de A, sabemos que un vector \[Y=a*A\](donde a es un valor que yo no se, y A es el vector A)
Entonces de ahi sale
\[a* (1; 3; -2)\]
Realizamos la multiplicacion y nos queda la segunda ecuación
\[(a; 3a; -2a)\]
Luego con eso podemos plantear el enunciado del ejercicio, o sea teniamos que encontrar dos vectores que nos den como resultado el vector B, por lo que vamos a igualar el vector B a las dos ecuaciones que encontramos.
\[(4; -6; 5) = (-3b+2c; b; c )+ (a; 3a; -2a)\]
Y ahora solo nos queda juntar los valores de X con los valores de X, los valores de Y con los valores de Y, y los valores de Z con los valores de Z para realizar un sistema de 3 incognitas
\[\left\{\begin{matrix}4=-3b+2c+a\\ -6=b+3a \\ 5=-2a+c & & & \end{matrix}\right.\]
Ahi resolves, y vas a obtener tres valores los cuales vas a reemplazar en las dos ecuaciones finales que te subraye.
Suertee :)

Buenísimo, ahí lo pude hacer. No pensé que seria tan largo. Gracias por tu tiempo!