Buenas! Que tal gente, estoy trabado en este ejercicio de vectores que parece una boludez pero no sale.

Dados los vectores $$\vec{a} = \breve{i}-\breve{j}$$ y $$\vec{b} = -2\breve{i}+3\breve{j}$$ , calcule $$\vec{x}/|\vec{x}|=|\vec{a}+\vec{b}|$$ y $$\vec{x} \perp \vec{a}+\vec{b}$$ .

Les muestro hasta donde hice:

$$|\vec{x}|=|(1,-1)+(-2,3)|$$

$$|\vec{x}|=|(-1,2)|$$

$$|\vec{x}|=\sqrt{5}$$

Despues probé hacer esto pero no llego a nada.

$$\vec{x}\cdot \vec{a}+\vec{b} = 0$$

$$\vec{x}\cdot (-1,2) = 0$$

$$-\vec{x} + 2\vec{x}=0$$

$$\vec{x}=0$$

Y se caga todo (?)

Hola!
Te lo trato de hacer rapido porque en un rato me voy.

$$(a+b) = (-1,2)$$

Como bien interpretaste, al ser perpendiculares el vector X el producto escalar de dicho vector y del $$(-1,2)$$ tiene que ser cero.

Ahora, sabemos que la norma del vector X es $$\vec{x}=\sqrt{5}$$ .

Descomponemos el vector "X" en estas componentes $$(x,y)$$
Entonces queda $$\sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{5}$$

Si despejas la x de esta ultima ecuacion, te queda que $$x=\sqrt{5-y^2}$$


Ahora, si volvemos al producto escalar, nos queda:

$$(\sqrt{5-y^2},y) . (-1,2) = 0$$

El resto son cuentas....

Para no abusar del Latex, y resumir cuentas, creo que te queda el vector (2,1).

Despues, te deberia quedar otro vector en sentido opuesto a este ultimo, eso es porque en realidad $$x= \sqrt{5-y^2}$$ y $$x=-\sqrt{5-y^2}$$

Muchisimas gracias!