Hola, que tal a todos. Como verán soy nuevo por acá, no pertenezco a la UTN, pero también estudio ingeniería.

Antes que nada les doy las gracias porque si bien hasta el momento no creé ningún tema la lectura del foro me fue de mucha ayuda.

Bueno, mi duda es sobre un ejercicio de parcial y dice:

Sea \[G:R^{2}->R^{2}\] una función diferenciable tal que:

\[G(x^{2}+y^{2}, 2x + 3y) = (x,y)\]

Calcular G'(1,3)

Este ejercicio ya lo intenté hacer pero la única manera en que lo sabría hacer es si G fuera de \[G:R^{2}->R\] (si la función de la derecha fuera x+y por ejemplo), cosa que es bastante fácil de hacer. En este caso va de 2 en 2 y se me complica bastante verlo, o al menos cómo conformar alguna matriz jacobiana.

De la manera que lo resuelvo yo llego a un pequeño sistema de ecuaciones pero me queda un absurdo.

Muchas gracias desde ya,
Saludos

Holas, una consulta, no falta ningun dato mas al enunciado.... esta tal cual tu exámen ??

a ver si no mando fruta...

si es de R2 -> R2 no es una función, sino un campo. ahí tenés un campo vectorial.
lo campos no tienen una derivada única, sino que tienen derivadas direccionales. y por lo que veo el campo G es una función compuesta.

\[\overline{H}(x;y)=(u;v)\wedge \left\{\begin{matrix}u(x;y)=x^{2}+y^{2}\\ v(x;y)=2x + 3y\end{matrix}\right.\]

\[\overline{G}(\overline{H}(x;y))=\overline{G}(u;v)=(x;y)\]

\[\overline{G}(1;3)=\overline{G}(\overline{H}(0;1))=\overline{G}(0^2+1^2;2\times 0+3\times 1)=(0;1)\]

   

no te dije nada de la derivada, pero por ahí te sirve para entender más el ejercicio.
sabiendo que P(x;y)=(x;y)

Off-topic:

qué mierda esos saltos de línea que salen!!!

(29-04-2012 19:01)LeaTex escribió:  

Off-topic:

qué mierda esos saltos de línea que salen!!!

Ahí te edite el mensaje, para que no aparezcan esos saltos de linea en latex, no dejes espacios entre signos de igualdad, y trata de que todo el codigo quede en una sola linea, que no haya saltos


Respecto al ejercicio, tambien lo pense como composicion de funciones pero algo falta, mmm por ahi me equivoque en las cuentas, ahora reviso tu propuesta

lo que no estoy seguro es si existen más de un par de valores (u;v) que verifiquen que H(u;v)=(1;3)

Mira yo lo hice asi

\[f(x,y)=(x^2+y^2,2x+3y)\to G(f(x,y))=(x,y)\]

derivando de ambos miembros

\[\nabla G(f(x,y))\cdot\nabla f(x,y)=\begin{pmatrix}{1}&{0}\\{0}&{1}\end{pmatrix}\]

pero cuando haces los calculos tenes que

\[\nabla f(1,3)=\begin{pmatrix}2 & 6 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} \wedge \nabla G(10,11)=(G'_x(10,11),G_y'(10,11))\]

La derivada no me esta dando en el punto que se pide, como que falto algun dato me parece.... espero a que me conteste el usuario que inicio el th

es que no tenés que hacer f(1;3) porque (1;3) es (u;v).

vos tenés que usar (x;y) que según mi deducción anterior es (0;1).

Muchísimas gracias desde ya.

Todos los datos que dí son los que estaban en el examen.

Yo el ejercicio lo encaré de la siguiente manera.

Planteé el ejercicio de manera matricial, pero sé que hay algo que planteé mal de movida y que no sé bien que sería lo que corresponde.

Conformé dos matrices de 2x2 y las igualé a la matriz identidad.

\[\begin{bmatrix}Gu&0 \\0 & Gv\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}ux &uy \\vx & vy \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}\]

Luego:

\[\begin{bmatrix}Gu &0 \\0 & Gv\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2x &2y\\2 &3 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}\]

Resolví antes igualando:

\[\\x^{2}+y^{2}=1\\2x+3y=3\]

Me quedó que para G'(1,3): x=1, y=0 (1,0)

Metí los puntos en las matrices multipliqué las matrices igualé cada componente a los componentes de la "matriz identidad" y me quedó un absurdo. Me quedó algo igual a 0 y al mismo tiempo igual a otra cosa.

Yo sé que el resultado de esto, si voy de R2 a R2 tiene que ser una matriz de 4 componentes. Pero en este caso no veo como hacer que me queden 4 derivadas.

Te edite las formulas que tenian error de parseo en latex

Que bolas, yo lo trate como un campo escalar , no se porque insistia por ese lado o sea que se tiene que cumplir

\[G(f(x,y))=(x,y)\]

derivando a ambos miembros

\[\nabla G(f(x,y))\cdot\nabla f(x,y)=\begin{pmatrix}1 &0 \\ 0&1 \end{pmatrix}\]

Como dedujo Leatex y vós fmn hay que hacer

\[\nabla G(f(1,0))\cdot\nabla f(1,0)=\begin{pmatrix}1 &0 \\ 0&1 \end{pmatrix}\]

fmn escribió:igualé cada componente a los componentes de la "matriz identidad" y me quedó un absurdo

Hiciste una suma?? Si haces el producto habitual te queda una matriz de 2x2 igualada a la indentidad, tambien de 2x2

Off-topic:

(30-04-2012 11:39)Saga escribió:  Como dedujo latex y vós fmn hay que hacer

es LeaTex, que no tiene nada que ver con el material ni con el lenguaje.

Off-topic:

Ok LEATEX hecha la corrección

Me queda una matriz de 2x2 igualada a la matriz identidad:

Si resuelvo elemento de la matriz por elemento de matriz me queda:

Gu(2x)=1
Gu(2y)=0
Gv(2)=0
Gv(3)=1

Entonces me queda:

Gu=1/2
Gu(2.0)=0
Gv(2)=0
Gv(3)=1

Me queda que Gv=0 y Gv=1/3 al mismo tiempo.

(30-04-2012 23:54)fmn escribió:  Me queda que Gv=0 y Gv=1/3 al mismo tiempo.

Por eso, que aun como lo estaba pensando, viendolo como campo escalar, te falta info para decidirte por un valor u otro, de ahi mi pregunta si el enunciado estaba tal cual el parcial, y como decis que esta transcripto igual..... entonces habria que ver si no hubo alguna corrección en medio del parcial, ¿ a vós te lo tomaron este, o estas estudiando de fotocopias de parciales??

Estaba haciendo parciales viejos, hablando con gente que tuvo que rendirlo me dijeron que no supieron como hacerlo y que no hubo ninguna modificación.
Averiguando más ví que el ejercicio se resuelve planteando 4 derivadas en G, G1x G2x G1y G2y. Osea que a esa matriz de la izquierda le faltan dos G.

Muchas gracias por todo,
Saludos