Buenas gente, les queria hacer una pregutna sobre el ejercicio dos de este final

2)
Dadas las funciones f(x)= e^x ; g(x)= -x+2
a) Enuncione teorema de bolzano y empleando dicho teorema, pruebe que las curvas y=f(x) ; y=g(x) se intersectan en algun punto del intervalo [0;1]
b) Aproximando f(x) por un polinomio de taylor de orden 2 en En(0) (entorno, supongo a = 0, para taylor) calcule aproximadamente el punto de interseccion.

aca mis dudas.. en el punto a) lo que hice fue hacer un h(x) =e^x+x-2
esta funcion cumple con bolzano, para h(0)=-1 y para h(1)=e-1, que es mayor a cero porqe "e" es 2.7271.. algo asi.. entonces existe un c/ f©=0
e^c+c-2=0. como averiguo el punto???

y en el punto b) ni siquiera se como empezar, osea hago taylor de e^x de 2do orden en x=0... y despues como aproximo??.. de ese tema vi un solo ejercicio y no lo entiendo...

esta semana pensaba ir a la facu a las clases de consulta que habia miercoles y jueves, pero con el tema del indoamericano, como sabemos no hubo actividad en campus...
No es mi intencion abusar del foro, busque por todos lados el tema de aproximacion, pero no lo puedo entender.. Gracias y cualquier ayuda es bienvenida

los que podes hacer en el punto a) es lo sgte.
Te lo explico brevemente, la funcion f(x) es continua y creciente en todos los reales, la g(x) tambien.. lo podes demostrar si no solo con aclar es suficiente.
Luego aplicas el T. bolzano a ambas y vas a ver que para ese intervalo [0;1] cerrado, ningun de las dos funciones cortan la abcisa X, por lo tanto siendo ambas crecientes y contienuas en el intervalo [0;1] y ademas crecientes... se cortan en algun punto si o si.

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el b) trata de hacer lo siguiente... cuando tengas le polinomio armado... ( seria la funcion f(x) en polinomios) igualalo a las funcion g(x)... luego te van a quedar solo polinomios y luego buscando el valor de x vas a tener el punto de interseccion..... osea basicamente la idea es pasar la funcion f(x) que es FEA, en algun polinomio quee s facil de trabajar... cuando tenas el valor de X, halla su imagen en f(x) y luego en g(x) y tendria que valor lo mismo... o muy aproximado en todos los casos.

(16-12-2010 20:19)gusti89 escribió:  Buenas gente, les queria hacer una pregutna sobre el ejercicio dos de este final

2)
Dadas las funciones f(x)= e^x ; g(x)= -x+2
a) Enuncione teorema de bolzano y empleando dicho teorema, pruebe que las curvas y=f(x) ; y=g(x) se intersectan en algun punto del intervalo [0;1]

Pienso que solamente te piden verificar las hipótesis del teorema de bolzano tal cuál lo hiciste, con eso estas demostrando que en intervalo [0,1] ambas ecuaciones se cortan en algún punto común a ellas, ya que la ecuacion \[e^c+c-2=0\] no es expresable mediante funciones elementales

Cita:b) Aproximando f(x) por un polinomio de taylor de orden 2 en En(0) (entorno, supongo a = 0, para taylor) calcule aproximadamente el punto de interseccion.

Seguí la sugerencia de Droven lo que te dice es que al polinomio asociado a \[f(x)\]

\[P_{2,0,f(x)}=1+x+\dfrac{x^2}{2}\]

lo iguales a la función \[g(x)\] o sea

\[-x+2=1+x+\dfrac{x^2}{2}\]

la resolvés y encontras la aproximacion del punto de intersección de ambas funciones.

Droven

Cita:por lo tanto siendo ambas crecientes y contienuas en el intervalo [0;1] y ademas crecientes... se cortan en algun punto si o si.

No entiendo porque decís que ambas funciones son crecientes, de hecho \[g(x)\] es una función decreciente para todo su dominio, o estoy equivocado??

saludos

Sí, Opino lo mismo
Una es creciente en el intervalo, y la otra decrece en el intervalo, por eso podés decir que se intersecan

Buenisimo! Muchas Gracias, lo que no me quedo muy claro es el a) el tema es asi, yo en el final habia echo e^c+c-2 = 0 y despues a eso saque factor comun c (horror), el tema es que el profesor me dijo que estaba bien hasta ahi, pero que como iba a sacar factor comun c... ademas g(x) no cumple bolzano...

Yo la verdad, no recuerdo que hice, aparte de llorar y esas cosas xD.

Bolzano lo que dice es que, sea una función definida y continua en un intervalo [a,b], si:

f (a) < 0

o sino

f (b) < 0

[digamos que en sólo uno de los extremos, la imagen de la función sea negativa] => existe un punto c interior a ese intervalo, donde se cumple que f ( c ) = 0.

En este caso:

f(x)= e^x

f(0)= 1
f(1)= e

g(x)= -x+2

g(0)= 2
g(1)= 1

Sé que para hacerlo con Bolzano, sacan una h(x), el tema es que yo creo que si no nombraban a Bolzano, podía resolverse más fácil, porque las rectas tangentes de las curvas se intersecan y si no me equivoco, según lo que yo hice, eran perpendiculares.
Si a esa h(x) se saca la imagen en 0 y en 1, creo que el teorema se cumple

h(x) =e^x+x-2

El punto a no te pide sacar el punto de intersección..

Entonces la pregunta es, "Demostrando que h(x) cumple Bolzano, como demuestro que se cortan en algun punto?"

Si yo respondo: como h(x) cumple bolzano, esto asegura que se cortan en algun punto del intervalo [0.1].

Osea esa respuesta estaria bien?

Esta bien la respuesta porque estas demostrando que h(x) tiene solucion en el intervalo [0,1] en pocas palabras que se cortan ya que h(x) resulta de g(x)=f(x) no se si se entiende soy medio complicado para explicar las cosas...

Saludos.

claro ahi esta....

e^c+c-2 = 0 esta ec. te queda de igual f(x) y g(x) ok? entonces si hallas el valor de "c" tendrias el punto donde se cortan, como hago eso?? pues con bolzano, aplico bolzano ( ya que cumple perfectamente) y voy a llegar a que H(0)<0 ^ H(1)>0, entonces evidentemente existe por lo menos un c, que pertenece a los reales, tal que H©=0. ( el c es el punto de interseccion). EXITOS!

En realidad, como es complicado de despejar "c", uno tiene la chance de usar Taylor [el ítem "b" del ejercicio], porque si vos te fijás, una de las funciones involucradas es e^x, y esa función cuando se deriva, siempre queda igual xD, y es más accesible que andar despejando a c, que por un lado es un exponente, y por otro lado está solito.

Yo creo que por eso en el ítem a, no piden el punto de intersección

no lo pide, solo pide que demuestres que existe, por eso bolzano.

(19-12-2010 13:55)Droven escribió:  no lo pide, solo pide que demuestres que existe, por eso bolzano.

Claro, a eso iba con que me parecía pavo ponerse a despejar en el ítem A
Y es más fácil con Taylor

como la sufri con esa materia, por suerte ya es pasado.jejeje

Muchas gracias por las respuestas! ojala que este final no sea tan rebuscado como el de octubre! Saludos

(19-12-2010 14:33)gusti89 escribió:  Muchas gracias por las respuestas! ojala que este final no sea tan rebuscado como el de octubre! Saludos

21 o 27 rendís?