Hola gente tengo este ejercicio, que creo que me dio, pero como la resta no es cerrada en los N, no estoy seguro de q este bien.

\[6.7^{n}-2.3^{n} \] es divisible por 4

Paso Base n=1

\[6.7^{1}-2.3^{1}=36 \wedge 4|36\] SE CUMPLE

Hipotesis n= h

\[6.7^{h}-2.3^{h}=4j, j\epsilon N\]

Tesis n= h+1

\[6.7^{h+1}-2.3^{h+1}=4k, k\epsilon N\]


\[6.7^{h}=4j-2.3^{h}\] \[ \wedge 6.7^{h+1}=6.7.7^{h}\]

\[(6.7^{h}).7-2.3.3^{h}=4k\]
\[(4j-2.3^{h}).7-2.3.3^{h}=4k\]
\[28j-14.3^{h}-6.3^{h}=4k\]
\[28j-20.3^{h}=4k\]
\[4.(7j-5.3^{h})=4k\]

Osea llego aca, pero como la resta no es cerrada en los Naturales, no se si esta bien o me equivoque en algo.

Muchas gracias por la ayuda q me puedan dar!!

Ya esta encontre el error, me equivoque cuando pase el \[2.3^{h}\]. Puse como menos y es mas!!! Gracias igualkllll!!!!

Yo estoy trabada en este ejercicio y no entiendo muy bien la demostración, alguien que pueda demostrarlo completo?

(31-05-2013 10:07)Rowdiamond escribió:  Yo estoy trabada en este ejercicio y no entiendo muy bien la demostración, alguien que pueda demostrarlo completo?

A ver, en inducción lo que tenés que hacer es:
I) Controlar la función en el punto base.
II) Si se cumple la función en el punto h, ver qué pasa en h+1.

Por lo que en este caso, si tenés:
\[F(n)= 4|(6.7^{n}-2.3^{n})\]

Los pasos a seguir son:
I)\[F(0)= 4|(6.7^{0}-2.3^{0}) = 4|4 = 1 \Rightarrow Verdadero\]
II)\[F(n)= 4|(6.7^{n}-2.3^{n})\Rightarrow F(n+1)= 4|(6.7^{n+1}-2.3^{n+1}) ?\]
O quizás preferís de la forma:
\[(6.7^{n}-2.3^{n}) = 4.k\Rightarrow (6.7^{n+1}-2.3^{n+1}) = 4.k'\]

Verificamos este segundo paso (tenés la forma hipotesis -> tesis ):
Vos sabes que \[6.7^{n} = 4.k+2.3^{n}\] y que \[6.7^{n+1} = 6.7^{n}.7\] (ya que \[7^{n+1}\] lo podés escribir como \[7^{n}.7 \]) y lo mismo para \[2.3^{n+1} = 2.3^{n}.3\]

Entonces partimos de la tesis:
\[(6.7^{n+1}-2.3^{n+1}) = 4.k'\] y reemplazamos lo que ya sabemos:
\[(6.7^{n}.7-2.3^{n}.3) = 4.k'\]
Y como \[6.7^{n} =(4.k+2.3^{n})\] lo reemplazamos también:
\[(4.k+2.3^{n}).7-2.3^{n}.3 = 4.k'\]
Aplicamos distributiva y producto:
\[28.k+14.3^{n}-6.3^{n} = 4.k'\]
Luego, unimos los \[3^{n}\]:
\[28.k+8.3^{n} = 4.k'\]
De acá obtenemos que : \[k' = (28.k + 8.3^{n}) / 4 = 7.k + 2.3^{n}\Rightarrow k' = 7.k + 2.3^{n}\]
y como la suma es cerrada en los naturales (o sea, la suma de 2 naturales, te da un natural), es una respuesta válida para k'.
Por lo tanto, se verifica!

Espero que esto te haya servido! Saludos!

(31-05-2013 14:30)mercevico escribió:  

(31-05-2013 10:07)Rowdiamond escribió:  Yo estoy trabada en este ejercicio y no entiendo muy bien la demostración, alguien que pueda demostrarlo completo?

A ver, en inducción lo que tenés que hacer es:
I) Controlar la función en el punto base.
II) Si se cumple la función en el punto h, ver qué pasa en h+1.

Por lo que en este caso, si tenés:
\[F(n)= 4|(6.7^{n}-2.3^{n})\]

Los pasos a seguir son:
I)\[F(0)= 4|(6.7^{0}-2.3^{0}) = 4|4 = 1 \Rightarrow Verdadero\]
II)\[F(n)= 4|(6.7^{n}-2.3^{n})\Rightarrow F(n+1)= 4|(6.7^{n+1}-2.3^{n+1}) ?\]
O quizás preferís de la forma:
\[(6.7^{n}-2.3^{n}) = 4.k\Rightarrow (6.7^{n+1}-2.3^{n+1}) = 4.k'\]

Verificamos este segundo paso (tenés la forma hipotesis -> tesis ):
Vos sabes que \[6.7^{n} = 4.k+2.3^{n}\] y que \[6.7^{n+1} = 6.7^{n}.7\] (ya que \[7^{n+1}\] lo podés escribir como \[7^{n}.7 \]) y lo mismo para \[2.3^{n+1} = 2.3^{n}.3\]

Entonces partimos de la tesis:
\[(6.7^{n+1}-2.3^{n+1}) = 4.k'\] y reemplazamos lo que ya sabemos:
\[(6.7^{n}.7-2.3^{n}.3) = 4.k'\]
Y como \[6.7^{n} =(4.k+2.3^{n})\] lo reemplazamos también:
\[(4.k+2.3^{n}).7-2.3^{n}.3 = 4.k'\]
Aplicamos distributiva y producto:
\[28.k+14.3^{n}-6.3^{n} = 4.k'\]
Luego, unimos los \[3^{n}\]:
\[28.k+8.3^{n} = 4.k'\]
De acá obtenemos que : \[k' = (28.k + 8.3^{n}) / 4 = 7.k + 2.3^{n}\Rightarrow k' = 7.k + 2.3^{n}\]
y como la suma es cerrada en los naturales (o sea, la suma de 2 naturales, te da un natural), es una respuesta válida para k'.
Por lo tanto, se verifica!

Espero que esto te haya servido! Saludos!

Una pregunta mercevico , si fuera una resta no sería valido también, ya que siempre se pide que k sea un entero y no un natural? O sea, mientras sea un entero no importaría el signo que tenga. O sí?

(07-07-2013 15:44)Bian escribió:  

(31-05-2013 14:30)mercevico escribió:  

(31-05-2013 10:07)Rowdiamond escribió:  Yo estoy trabada en este ejercicio y no entiendo muy bien la demostración, alguien que pueda demostrarlo completo?

A ver, en inducción lo que tenés que hacer es:
I) Controlar la función en el punto base.
II) Si se cumple la función en el punto h, ver qué pasa en h+1.

Por lo que en este caso, si tenés:
\[F(n)= 4|(6.7^{n}-2.3^{n})\]

Los pasos a seguir son:
I)\[F(0)= 4|(6.7^{0}-2.3^{0}) = 4|4 = 1 \Rightarrow Verdadero\]
II)\[F(n)= 4|(6.7^{n}-2.3^{n})\Rightarrow F(n+1)= 4|(6.7^{n+1}-2.3^{n+1}) ?\]
O quizás preferís de la forma:
\[(6.7^{n}-2.3^{n}) = 4.k\Rightarrow (6.7^{n+1}-2.3^{n+1}) = 4.k'\]

Verificamos este segundo paso (tenés la forma hipotesis -> tesis ):
Vos sabes que \[6.7^{n} = 4.k+2.3^{n}\] y que \[6.7^{n+1} = 6.7^{n}.7\] (ya que \[7^{n+1}\] lo podés escribir como \[7^{n}.7 \]) y lo mismo para \[2.3^{n+1} = 2.3^{n}.3\]

Entonces partimos de la tesis:
\[(6.7^{n+1}-2.3^{n+1}) = 4.k'\] y reemplazamos lo que ya sabemos:
\[(6.7^{n}.7-2.3^{n}.3) = 4.k'\]
Y como \[6.7^{n} =(4.k+2.3^{n})\] lo reemplazamos también:
\[(4.k+2.3^{n}).7-2.3^{n}.3 = 4.k'\]
Aplicamos distributiva y producto:
\[28.k+14.3^{n}-6.3^{n} = 4.k'\]
Luego, unimos los \[3^{n}\]:
\[28.k+8.3^{n} = 4.k'\]
De acá obtenemos que : \[k' = (28.k + 8.3^{n}) / 4 = 7.k + 2.3^{n}\Rightarrow k' = 7.k + 2.3^{n}\]
y como la suma es cerrada en los naturales (o sea, la suma de 2 naturales, te da un natural), es una respuesta válida para k'.
Por lo tanto, se verifica!

Espero que esto te haya servido! Saludos!

Una pregunta mercevico , si fuera una resta no sería valido también, ya que siempre se pide que k sea un entero y no un natural? O sea, mientras sea un entero no importaría el signo que tenga. O sí?

Si mal no recuerdo, la inducción es sólo para los números naturales (Hace mucho que curse la materia, asi q mi memoria puede fallar) Por eso, no es válido para la resta porque la resta no es cerrada en los naturales.. El k, debe pertenecer a los naturales por eso..