Hola gente, como va?

Bueno estoy aca con un ejercicio que no entiendo bien como se hace. El ejercicio dice así:

El toroide de la figura es de sección cuadrada y tiene un total de 500 espiras. Su corriente en función de t es de i(t) = 3.t y genera un campo magnético es su interior con el sentido indicado en la figura. Una espira rectangular atraviesa al toroide como se muestra. Calcular la inductancia mutua entre el toroide y la espira. Datos: a = b = 0.2m, la espira es de 0.35m por 1m.



Tengo la resolución pero la verdad que no entiendo los limites de la integral del flujo. Entiendo que el flujo se reduce a una integral simple, porque sobre el eje x de la espira (de longitud 0,35m) el CM es constante. Como el CM solo afecta a la porción interior de la espira (ya que afuera es 0) de los 0,35m que mide la espira, solo se tomaran 0.2m (que es el grosor del toroide) en cuenta. Como el campo magnético generado por un toroide es:

\[B=\frac{\mu _{o}.i.N}{2.\pi .R}\]

Entonces el flujo queda definido como:

\[\phi =\frac{\mu _{o}.i.N.b}{2.\pi }\int_{A}^{B}\frac{dR}{R}\]

Siendo A y B los limites y eso mismo es lo que no entiendo. En la resolución la integral queda como:

\[\phi =\frac{\mu _{o}.i.N.b}{2.\pi }\int_{a+\frac{b}{2}}^{a+b}\frac{dR}{R}\]

¿Quien me podría decir como se pensaron los limites?

Eso es todo. Un saludo y muchas gracias!

Hola Gonsha. Tomá lo que te diga con pinzas, porque estoy oxidado en estos temas.
Los límites quedan así porque al flujo que aporta la sección inferior del toroide se le resta el flujo que aporta la media sección de arriba.
Fijate que el campo va en distintos sentidos arriba y abajo. O sea, el campo es levógiro (antihorario), pero desde el punto de vista de la espira, por arriba entra y por abajo sale.

Eso pasa muchísimo en estos temas. Hacés un análisis cualitativo antes de hacer las cuentas. Sin embargo, si hacés el planteo matemático de una deberías llegar a lo mismo. Las simplificaciones te deberían aparecer.
En este caso, tenés que plantear dos integrales: una para el campo de arriba y otra para el de abajo. Van a tener signo contrario. Te diría que lo hagas y compares los resultados.

Si no queda claro avisá.
Saludo.

(01-08-2013 20:35)luchovl2 escribió:  Hola Gonsha. Tomá lo que te diga con pinzas, porque estoy oxidado en estos temas.
Los límites quedan así porque al flujo que aporta la sección inferior del toroide se le resta el flujo que aporta la media sección de arriba.
Fijate que el campo va en distintos sentidos arriba y abajo. O sea, el campo es levógiro (antihorario), pero desde el punto de vista de la espira, por arriba entra y por abajo sale.

Eso pasa muchísimo en estos temas. Hacés un análisis cualitativo antes de hacer las cuentas. Sin embargo, si hacés el planteo matemático de una deberías llegar a lo mismo. Las simplificaciones te deberían aparecer.
En este caso, tenés que plantear dos integrales: una para el campo de arriba y otra para el de abajo. Van a tener signo contrario. Te diría que lo hagas y compares los resultados.

Si no queda claro avisá.
Saludo.

Como lo harías algebraicamente por separado?

Considerá la espira solamente, olvidate de la tridimensionalidad, y de cómo se genera el campo.
Ves que hay dos campos: uno entrante y el otro saliente. Eso indica una expresión para cada uno. De ahí, tenés que hacer dos integrales, una para cada flujo. Lo bueno es que ambos son perpendiculares al area de interés.
Sabés las expresiones de ambos campos (son iguales, pero quedamos en ignorar la fuente del campo).
Para el campo de arriba integrás desde "a" hasta "a+b/2".
Para el campo de abajo integrás desde "a" hasta "a+b".
Si considerás flujo positivo al producido por el campo de abajo, el producido por el de arriba será negativo.
Luego, numéricamente hacés la resta y ese resultado debería ser igual al que conseguís aplicando la fórmula que diste con el intervalo de integración loco ese.

No sé si con eso te queda claro. Si no, nuevamente, avisá.

(01-08-2013 21:47)luchovl2 escribió:  Considerá la espira solamente, olvidate de la tridimensionalidad, y de cómo se genera el campo.
Ves que hay dos campos: uno entrante y el otro saliente. Eso indica una expresión para cada uno. De ahí, tenés que hacer dos integrales, una para cada flujo. Lo bueno es que ambos son perpendiculares al area de interés.
Sabés las expresiones de ambos campos (son iguales, pero quedamos en ignorar la fuente del campo).
Para el campo de arriba integrás desde "a" hasta "a+b/2".
Para el campo de abajo integrás desde "a" hasta "a+b".
Si considerás flujo positivo al producido por el campo de abajo, el producido por el de arriba será negativo.
Luego, numéricamente hacés la resta y ese resultado debería ser igual al que conseguís aplicando la fórmula que diste con el intervalo de integración loco ese.

No sé si con eso te queda claro. Si no, nuevamente, avisá.

Si no te jode hacerlo en un papel y sacarle una foto mejor no te estoy enendiendo mucho

   

A ver ahí. No sé si la adjunté bien.

(02-08-2013 00:17)luchovl2 escribió:  A ver ahí. No sé si la adjunté bien.

AAAAAAAAAAAAAAAAAA ya entendi, claro, ej eje de referencia se toma desde el centro del toroide !!! Ahi entendi. Gracias man, te quiero mucho :$:$:$ jaja.

Abrazo !!

Ja, ja. De nada, pa.

Saludo.

Claro porque la espira rectangular atraviesa la mitad de la sección del toroide en un extremo y la sección entera del otro extremo, y siempre se trata del flujo concatenado por la espira, no?