Hola gente, aca tengo un problema de un final que me rompe la cabeza

Dice:

"Dados los subespacios de R4:
S = gen{(0;2;1;0) (1;-1;0;0)} y W = {(x,y,z,t) / x-z=0 ^ 2x+y-z=0}

Defina una TL
T: R4->R4 tal que \[Im(T)= S^{\perp } + W\] y \[Nu(T)= S^{\perp } \cap W\]

Nota: No es necesario hallar la fórmula de T. Debe justificar por qué queda bien definida."

Bueno primero de todo saqué el S ortogonal y me dio {(1;1;-2;0)(0;0;0;1)}
Base de W me dió {(1;-1;1;0)(0;0;0;1)}

Entonces S+W= {(1;1;-2;0)(0;0;0;1)(1;-1;1;0)} Dim=3

Por propiedad: Dim R4 = Dim Im(T) + Dim Nu(T)
4 = 3 + 1

Y al buscar el espacio intersección, oh sorpresa! me da el (0;0;0;1).

Entonces quedaría Im(T)= {(1;1;-2;0)(0;0;0;1)(1;-1;1;0)} ; Nu(T)= {(0;0;0;1)}

Quiero pensar que me equivoque al sacar los subespacios, pero busco el error y no lo encuentro. Que pasa ahí? no existe una TL con esas condiciones?