Me pasaron el siguiente enunciado, se los dejo a ver si le sirve a alguien



lo pide de dos maneras, si f admitiera funcion potencial seria otra forma de encontrar la circulación pero como no lo admite entonces lo hacemos

1) por circulacion directa

2) aplicando el teorema del rotor

1) por definicion

$$\omega=\int _C fds=\int_{a}^{b} f(g(x))g'(x)dx$$

defino la funcion

$$g:R\to R^3/g(x)=(x,x^2,2x)\quad x\in (0,2)$$

derivo, reemplazo en la definicion, hago la composicion y las demas cuentas y obtengo

$$\omega=\int_{0}^{2}19x^3dx\to\boxed{\boxed{\omega=76}}$$

2) como no se cumplen las condiciones del teorema defino una C2 para poder aplicarlo

$$\omega=\int_{C1}fds+\int_{C2}fds=\iint_R rot f n dA$$

nos piden la circulacion sobre C1 entonces

$$\omega=\int_{C1}fds=\iint_R rot f n dA-\int_{C2}fds$$

C2 esta definida por la recta desde A hasta B por la ecuacion vectorial

$$C2(t)=(2t,4t,4t)\quad t\in [1,0]$$

con esa condicion defino una curva cerrada, y puedo empezar el calculo, entonces

$$rot f.n=x$$

luego la proyeccion sobre el plano xy del paraboloide y la recta me define el recinto de integración entonces

$$\int_{0}^{2}\int_{x^2}^{x} xdydx=\frac{4}{3}$$

verifiquenlo con wolfram

luego la circulacion sobre C2 sera

$$-\int_{0}^{1}f(C2(t))(C'2(t)) dt=-224\int_{0}^{1} t^2dt=-\frac{224}{3}$$

luego

$$\omega=\int_{C1}fds=\iint_R rot f n dA-\int_{C2}fds=\frac{4}{3}-\left ( -\frac{224}{3} \right )$$

finalmente

$$\boxed{\boxed{\omega=76}}$$

Edit: debe quedar en negativo no lei la parte que lo pedian desde A hasta B el procedimiento esta desde B hasta A , se los dejo de tarea