sisi , entendí entendí. Tengo una duda con otro ejercicio , tiene que ver con derivar funciones partidas (de varias variables)

El ejercicio pide verificar que quedan definidas para todo (x,y) las derivadas parciales de f y que no es diferenciable en (1,0). Esto ultimo se puede verificar probando la no-continuidad en el punto; lo que no se es como probar lo primero.

La funcion es

\[ f(x,y) = \left \{ \begin{matrix} {(x-1)y\over (x-1)^2+y^2} & \mbox{si }(x,y)\mbox{ \ne (1,0)}\\ 0 & \mbox{si }(x,y)\mbox{ =(1,0)}\end{matrix}\right.\]

La verdad es bastante raro el enunciado. Estas seguro que es asi ? Ahi esta pidiendo que pruebes PARA TODOS LOS PUNTOS !!! xD del dominio que quedan definida las derivadas parciales.. Nose, me suena raro..
Igual, aunque fuese asi, podes decir que excepto en el punto (1,0) que es donde la funcion se "parte" es una funcion racional continua y derivable (de clase \[ C^1 \] para todo \[R^2 - {(1,0)} \] asique para todos esos puntos existen las derivadas parciales.
Y para el (1,0) lo calculas por definicion de derivada, considerando primero para f'x el versor (1,0) y luego para f'y el versor (0,1)..
Si es eso lo que pedis, yo lo haria asi, aunque me suena muy raro el enunciado..

(29-07-2010 00:57)fede0089 escribió:  sisi , entendí entendí. Tengo una duda con otro ejercicio , tiene que ver con derivar funciones partidas (de varias variables)

El ejercicio pide verificar que quedan definidas para todo (x,y) las derivadas parciales de f y que no es diferenciable en (1,0). Esto ultimo se puede verificar probando la no-continuidad en el punto; lo que no se es como probar lo primero.

La funcion es

\[ f(x,y) = \left \{ \begin{matrix} {(x-1)y\over (x-1)^2+y^2} & \mbox{si }(x,y)\mbox{ \ne (1,0)}\\ 0 & \mbox{si }(x,y)\mbox{ =(1,0)}\end{matrix}\right.\]

Como probar lo primero es bastante sencillo, propones un versor generico v = (a,b) sacas la derivada direccional por definicion en el punto (1,0) con respecto a dicho versor y con eso probas lo que te piden, fijate de conseguir el primer tomo del flax donde se explica bien lo que estoy diciendo "en el aire" .

Saludos.

Hola

(29-07-2010 04:37)gonnza escribió:  Igual, aunque fuese asi, podes decir que excepto en el punto (1,0) que es donde la funcion se "parte" es una funcion racional continua y derivable (de clase \[ C^1 \] para todo \[R^2 - {(1,0)} \]

Me parece que estas confundiendo las definiciones, claramente se observa que f no es continua en el orígen, por esta razón no puede ser \[C^1\] pues eso implíca que f es diferenciable, por ende continua además derivable en toda dirección, etc etc.

Como en el ejercicio unicamente nos piden

Cita:....verificar que quedan definidas para todo (x,y) las derivadas parciales de f....

, simplemente usas la definición de derivadas parciales, es decir

\[f_x= \displaystyle\lim_{x \to{x_0}}{ \displaystyle\frac{f(x,y_0)-f(x_0,y_0)}{x-x_0} }= \displaystyle\lim_{x \to{1}}{ \displaystyle\frac{f(x,0)-f(1,0)}{x-1} }=0\]
además

\[f_y= \displaystyle\lim_{y \to{y_0}}{ \displaystyle\frac{f(x_0,y)-f(x_0,y_0)}{y-y_0} }= \displaystyle\lim_{y \to{0}}{ \displaystyle\frac{f(1,y)-f(1,0)}{y} }=0\]

por lo tanto las derivadas parciales de f estan definidas para todo (x,y) incluso en el (1,0) aunque nó sea continua en él

salu2

a ver si me ayudan con este:
Un trompo se fabrica con dos materiales distintos.El que corresponde a la parte del cono tiene densidad p=2, mientras que el de la parte esferica p=1. Plantee solo las integrales que permiten calcular el centro de masa.
Y me da esta funcion correspondiente a la esfera:
\[x^2 + y^2 + (z-5)^2 = 25 \]



yo utilize coordenadas esfericas para ambas pero no se si esta bien, hice esto:
esfera: 0 < w < pi/2
0 < o < 2pi
0 < r < 5

pero para las del cono ni idea, y ademas como son las formulas para calcular el centro de masa? eso tampoco lo se jaja

pd1: gracias por las respuestas che, a todos !
pd2: como mierda hacen para escribir las integrales y todo eso? las hacen en un programa y dsp la pasan o q ?

saludos

Che sigo aprovechando este post que gracias a los que cooperan me esta sirviendo un montón!
Hay un ejercicio de final (que esta también resuelto en el Flax), el cual me pide en una determinada función ver si admite derivada en cualquier dirección en el punto (0,0). Me queda que para todo versor (u,v) existe la derivada y es \[u.v^2\].
Me pide también averiguar 2 direcciones en que la derivada es máxima:

Estoy probando tomar una funcion \[g(u,v)=u.v^2\] (y practico también extremos); después busque el gradiente, que queda \[(v^2,2uv)\] . Igualo ambas componentes a 0 para encontrar puntos estacionarios y encontrar los extremos, pero no llego nunca al resultado.

¿Que estoy haciendo mal?

(29-07-2010 09:55)aoleonsr escribió:  Hola

(29-07-2010 04:37)gonnza escribió:  Igual, aunque fuese asi, podes decir que excepto en el punto (1,0) que es donde la funcion se "parte" es una funcion racional continua y derivable (de clase \[ C^1 \] para todo \[R^2 - {(1,0)} \]

Me parece que estas confundiendo las definiciones, claramente se observa que f no es continua en el orígen, por esta razón no puede ser \[C^1\] pues eso implíca que f es diferenciable, por ende continua además derivable en toda dirección, etc etc.

Creo que puse clarito que es \[C^1\] para todo el resto de los puntos menos el (1,0). Bleh, no me acuerdo si lo de Clase era por punto o para la funcion entera, pero al menos lo que te aseguro, es que para el resto de los puntos (osea, todos menos el (1,0)) es diferenciable por ser racional continua derivable bla bla y por eso ni hace falta probar para esos otros puntos la definicion de derivada parcial.
Eso fue lo que quise decir.

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(29-07-2010 23:38)fede0089 escribió:  Che sigo aprovechando este post que gracias a los que cooperan me esta sirviendo un montón!
Hay un ejercicio de final (que esta también resuelto en el Flax), el cual me pide en una determinada función ver si admite derivada en cualquier dirección en el punto (0,0). Me queda que para todo versor (u,v) existe la derivada y es \[u.v^2\].
Me pide también averiguar 2 direcciones en que la derivada es máxima:

Estoy probando tomar una funcion \[g(u,v)=u.v^2\] (y practico también extremos); después busque el gradiente, que queda \[(v^2,2uv)\] . Igualo ambas componentes a 0 para encontrar puntos estacionarios y encontrar los extremos, pero no llego nunca al resultado.

¿Que estoy haciendo mal?

Si la funcion es diferenciable, la derivada maxima en \[(x,y)\] esta dada por la normal del gradiente en ese punto. (Nose usar el gradiente para Latex, asique, G= gradiente de f suponete)
Es decir, la derivada maxima en el punto (a,b) es \[ ||G(a,b)|| \]
y la direccion de esa maxima esta dada por el el vector en ese punto (del gradiente) dividido su norma; osea \[ G(a,b)\over ||G(a,b)||\]
Claro que esto te lo digo a secas, porque nose tu funcion, pero la idea es que te den una diferenciable para que apliques esta propiedad..

Sisi, de esa forma tendria que salir, la onda era usar lo de extremos, pero no entiendo porque no me da

y si te dan una no diferenciable (supongamos este caso) y tenes que la derivada en toda direccion es \[g(u,v)=u.v^2\] ; ademas sabes que por ser direcciones son versores, osea, son de la forma [tex^] (u,v)\ u^2 + v^2 = [/tex] asique despejas a o b, en funcion de la otra; en este caso te combiene \[v^2= 1- u^2 \] y lo reemplazas en tu formula, generando asi una funcion escalar \[h(u)=u*(1-u^2) \] y ahi depende de una variable, y la optimizas como en AM1, derivando una vez, hayando puntos criticos, y luego hayando con la segunda derivada maximos o minimos segun corresponda..

Creo que la segunda opcion es la correcta, te dejo la primera por si te sirve pero desp de releer el ejercicio seguro que es la 2da.

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ah, justo estaba editando y lo leiste !

Sisi, yo tengo uno resuelto dejandolo en funcion de una variable como decis vos, pero si lo resuelvo en 2 variables no tendria que dar igual? mi duda estaba en que me equivocaba?
muchas gracias x responderr

Pensándolo mejor, si yo no "limito" la funcion agregando el [tex]u^2+v^2=1[tex] , la funcion tiene mínimos , pero no maximos ,porque crece indefinidamente.

lo que pasa que a veces te dan ejercicios para que los resuelvas asi..
Y si lo resolves en 2 variables, tendrias que hacerlo por optimizacion (con el hessiano y bla).
nose porque no llegas a resultado, a ver:
el gradiente \[G(x,y)=(v^2,2uv)\]
si tenemos que igualar a 0 va a terminar siendo
\[ v^2 =0\] y \[ 2UV=0 \]
de la primera ecuacion se desprende v=0, y u "libre" por lo que un punto de la forma \[(u,0)\] sera critico. (con U perteneciente a reales). De la otra ecuacion tenes \[ U=0\] ó \[V=0 \] asique un punto critico sera de la forma \[ (0,v) \] ó \[(u,0) \].. asi que los puntos criticos son aquellos donde al menos una de las componentes son nulas. (hay infinitos).
Aarmas el hessiano, donde te quedara.. (sigo en otro post, me limita cantidad de imagenes con tex a usar)

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\[ G''uu(u,v)=0 ; G''uv(u,v)=2v=G''vu(uv,) ; G''vv(u,v)=2u \]
Armas el hessiano, y lo evaluas en los puntos con primera componente 0, osea de la forma \[(0,v)\]
\[G''uu(0,v)=0; G''uv(0,v)=2v=G''vu; G''vv(0,v)=0 \]

al evaluar el hessiano te queda \[-4v^2 \] y esto de cualquier manera va a ser negativo por lo que no habra extremo, salvo en el (0,0) el cual el criterio no informa (justo alli es el extrremo supongo si lo probas por una sola variable). Ahi habria que ver como varian los puntos en el entorno, pero eso es algo que (casi ) ninguna cursada de AM2 ve...
Por eso hay que resolverlo como optimizacion de funcion escalar

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Cita:Pensándolo mejor, si yo no "limito" la funcion agregando el [tex]u^2+v^2=1[tex] , la funcion tiene mínimos , pero no maximos ,porque crece indefinidamente.

y claro, si no limitas asi estas considerando un monton de direcciones, pero justamente la idea es que consideres direcciones con versores; con esta ecuacion los limitas, y de ahi te da para que optimices en una sola variable

Nono , el tema es que las direcciones "maximas" son \[ ({sqrt 3\over 3} {sqrt 6 \over 3}) y ({sqrt 3 \over 3} {-sqrt6\over 3})\]

si lo haces por funcion escalar de una variable te da ?

Siisi, no lo termine de resolver pero use un graficador para ver las 2 funciones, y la de dos variables no tiene máximos relativos, si no me equivoco son puntos sillas, a diferencia de la de una variable que si lo tiene y coincide.

Sera que cuando se "arma" la función de una variable, reemplazando "v", se esta considerando la relación que surge de que ambas componentes forman un versor (cuyo modulo es 1), y en la de 2 variables no están restringidos los valores que toma

No se me ocurre otra cosa de porque puede ser sino

supongo.. pero la realidad es que deberia dar; osea, tendrian que darte un monton de valores, y vos con la restriccion \[u^2 + v^2=1 \] deberias hallar cual de esos valores es la maxima..

Off-topic:

Das el final el martes ... ? Creo que yo tambien