$$\sin\frac{x}{2}+\cos\frac{x}{2}=1$$

Hola no es de mala leche pero seria bueno ver que intentaste no te parece, asi se podrian ver los errores que puedes estar cometiendo, para laburar mas facil con esa identidad podes llamar

$$u=\frac{x}{2}$$ con lo que tenes $$\cos u+\sin u=1$$ elevando todo al cuadrado y operando de manera habitual, que me imagino a esta altura del partido lo sabes hacer llegas a

$$\cos u=0\vee \sin u=0$$

los valores de u respectivamente son $$u=\frac{\pi}{2},u=\frac{3}{2}\pi,u=\pi,u=2\pi$$

pero $$u=\frac{x}{2}$$ entonces reemplazando convenientemente obtenes que

$$x=\pi,x=2\pi,x=3\pi,x=4\pi$$

ahora no aclaras en que intervalo esta definida la ecuacion,