Hola a todos, estoy haciendo la unidad 6 de funcion compuesta e implicita y no entiendo nada. No solo es un tema que integra todas las unidades anteriores sino que me lo explicaron muy rapido. Estoy intentando hacer el ejercicio 3) b) desde ayer y no hay manera de que llegue al resultado, ya no se en que le estoy pifeando. Vi un thread viejo que habian comentado el mismo ejercicio pero no entendi nada de lo que hicieron.
Yo pude hacer lo siguiente, el ejercicio dice asi:

si \[z=2uv-2\sqrt{v-u}\] con \[u = x-y^{2}\] y \[v = x+2xy-1\] , resulta \[z=h(x,y)\]

b) Calcule la derivada direccional de h en (2,1) , en la direccion que va hacia el (5,5).

Yo entendi que z=h(x,y)=f(g(x,y)) y que como h es C1 entonces es diferenciable en A.

Entonces dije que \[\nabla h(\bar{A})\, \cdot\, \breve{u} = f'(\bar{A};\breve{u}) \]

Como h vendria a ser f o g, entonces el jacobiano de h es el producto matricial entre Df y Dg.

\[Jf(u,v)\, \cdot\, Jg(x,y)=\begin{pmatrix}2v+\frac{2}{2\sqrt{v-u}} & 2u-\frac{1}{\sqrt{v-u}} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}1 &-2y \\ 1+2y& 2x \end{pmatrix}\]

Ese producto me dio:

\[Jf(u,v)\, \cdot \, Jg(x,y)=\begin{pmatrix}2v+\frac{1}{\sqrt{v-u}}+2u-\frac{1}{\sqrt{v-u}}+4yu-\frac{2y}{\sqrt{v-u}}\\-4yv-\frac{2y}{\sqrt{v-u}}+4ux-\frac{2x}{\sqrt{v-u}}\end{pmatrix}\]

Que seria el gradiente de h

Como pide la derivada direccional de h en (2,1) segun la direccion (5,5), hice lo siguiente:

x = 2 --> reemplazo en la formula de u =x - y^2 --> u = 1

y = 1 --> reemplazo en la formula de v = x +2xy - 1 --> v = 5

Reemplace los valores de x,y,u,v en la matriz y me quedo (15,-15). Para sacar la derivada direccional en la direccion de (5,5) tengo que multiplicar el gradiente de h en el punto por el vector (5,5). A mi me da 0, pero en la respuesta da -3. Lo hice de 3 maneras distintas y ninguna me da siquiera un resultado parecido. Agradezco la ayuda.

No estás muy errado en lo que hiciste, pero a ver si podés ver donde le estás errando.

Tenés

\[g(x,y) = (u(x,y),v(x,y))\]

\[f(u,v) = 2uv - 2 \sqrt{v-u}\]

Sacamos el versor dirección, lo planteamos asi: \[\breve{v} = \frac{\bar{v}}{\left \| v \right \|} = \frac{(5,5)-(2.1)}{\sqrt{25}} = \left ( \frac{3}{5};\frac{4}{5} \right )\]

Como es diferenciable como bien decis podemos plantear que:

\[h'((2,1);(\frac{3}{5},\frac{4}{5}) = \bigtriangledown h(2,1) * (\frac{3}{5};\frac{4}{5}) \]

Planteo en este caso, el "teorema de la red", para sacar las derivadas parciales de h, quedando:

\[h'_{x}= f'_{u} * u'_{x} + f'_{v} * v'_{x}\]

\[h'_{y}= f'_{u} * u'_{y} + f'_{v} * v'_{y}\]

Calculando las derivadas parciales y reemplazando nos queda que:

\[h'((2,1);(\frac{3}{5},\frac{4}{5}) = (15,-15) * (\frac{3}{5};\frac{4}{5}) = -3\]

Muchas gracias! Ya encontré mi error y me salió!!