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5 en 4 posts · 10-11-2012 20:15

Buenas! tengo una duda con las soluciones del siguiente ejercicio:

2 c o s^{3} (x) + c o s^{2} (x) - 2 c o s (x) - 1 = 0

$2 cos^{3}(x) + cos^{2}(x) - 2cos(x) -1 = 0$

x ε [0, 3 π)

$x \varepsilon \left [ 0,3\pi \right )$

c o s (x) . (2 c o s^{2} (x) + c o s (x) - 2) = 1

$cos(x).(2cos^{2}(x) + cos(x) -2) = 1$

2 c o s^{2} (x) + c o s (x) - 2 = \frac{1}{c o s (x)}

$2cos^{2}(x) + cos(x) -2= \frac{1}{cos(x)}$

2 c o s^{2} (x) + c o s (x) = \frac{1}{c o s (x)} + 2

$2cos^{2}(x) + cos(x) = \frac{1}{cos(x)} +2$

c o s (x) (2 c o s (x) + 1) = \frac{1 + 2 c o s (x)}{c o s (x)}

$cos(x) (2cos(x) + 1) = \frac{1+2cos(x)}{cos(x)}$

c o s (x) = \frac{1 + 2 c o s (x)}{c o s (x) . (2 c o s (x) + 1)}

$cos(x) = \frac{1+2cos(x)}{cos(x). (2cos(x)+1)}$

c o s (x) = \frac{1}{c o s (x)}

$cos(x) = \frac{1}{cos(x)}$

c o s^{2} (x) = 1

$cos^2(x) = 1$

c o s (x) = 1

$cos(x) = 1$

y llegue a los siguientes valores:

x = 0, x = π, x = 2 π

$x = 0 , x=\pi , x=2\pi$

Pero la respuesta del ejercicio es:

S=\left \{0,\frac{2}{3}\pi,\frac{8}{3}\pi ,\frac{4}{3},\pi ,2\pi  }{  \right \}

$S=\left \{0,\frac{2}{3}\pi,\frac{8}{3}\pi ,\frac{4}{3},\pi ,2\pi }{ \right \}$

La pregunta del millon es como corno llega a esos valores, muchas gracias!

0 en 0 posts · 10-11-2012 20:35

No sé los valores, pero hay 6 soluciones porque recordá que la solución es |cos(x)|, por lo tanto son los valores positivos y negativos.

5 en 4 posts · 10-11-2012 20:41

Pero son los mismos valores!

1.744 en 931 posts · (11-11-2012)

(10-11-2012 20:15)Feddyn escribió: Buenas! tengo una duda con las soluciones del siguiente ejercicio:

$2 cos^{3}(x) + cos^{2}(x) - 2cos(x) -1 = 0$ $x \varepsilon \left [ 0,3\pi \right )$

observa que con un cambio de variable te ahorras muchas cuentas y llegas a los mismos resultados, haciendo

u = cos x \to 2 u^{3} + u^{2} - 2 u - 1 = 0

$u=\cos x\to 2u^3+u^2-2u-1=0$

resolviendo sacas que las raíces son

u = 1 u = - 1 u = - \frac{1}{2}

$u=1\quad u=-1\quad u=-\frac{1}{2}$

volviendo a la variable original

cos x = 1 cos x = - 1 cos x = - \frac{1}{2}

$\cos x=1\quad \cos x=-1\quad \cos x=-\frac{1}{2}$

en 1 y -1 los valores de x son respectivamente (los pongo en grados, no te olvides pasarlo a radianes)

x = 0 x = 360 \land x = 180 x = 540

$x=0\quad x=360\quad \wedge \quad x=180\quad x=540$

el ultimo no lo tomo por la restriccion del enunciado, ahora cuando

cos x = - \frac{1}{2} \to x = 120

$\cos x=-\frac{1}{2}\to x=120$

lo que nos indica que los ceros seran multiplos de 120, por lo tanto, de forma general las raíces las podemos escribir como

x_{k} = 120 + 120 k k \in Z

$x_k=120+120k\quad k\in Z$

dando valores a k

$\\x_0=120\\ x_1=240 \\x_2=360\\x_3=480\\x_4=600$

como nuestra solucion esta acotada, en el intervalo

$x\in\left [ 0,540^o\right )$ , entonces solo tomo hasta k=3, de donde pasado a radianes la solucion sera la unión de todas las raíces

$S=\left \{0,\pi,\frac{2}{3}\pi,\frac{4}{3}\pi,2\pi, ,\frac{8}{3}\pi \right \}$

5 en 4 posts · 11-11-2012 02:07

Muchas gracias genio!

2 en 2 posts · 14-11-2012 18:47

Una consulta, ese ejercicio esta en el libro o lo sacaste de un modelo? Gracias!

5 en 4 posts · 20-11-2012 23:04

Lo saque de un modelo!

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